1、第45讲 圆的方程 第45讲 圆的方程 1圆的标准方程 设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r0)设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是PM|MA|r，由两点间的距离公式写出点M的坐标适合的条件为_，化简可得圆的标准方程：_.特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为_ 知识梳理 第45讲 知识梳理（xa）2（yb）2r(xa)2(yb)2r2 x2y2r2 2点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种：即点在_，点在_，点在_ (1)若点M1(x1，y1)在圆C上，则点M1到圆心C(a，b)的距离等于半径，所以有_；(2)若点M1(x1，y1)在圆C
2、外，则点M1到圆心C(a，b)的距离大于半径，所以有_；(3)若点M1(x1，y1)在圆C内，则点M1到圆心C(a，b)的距离小于半径，所以有_ 判断点与圆的位置关系，就是判断点与圆心的距离d和半径r的大小关系 第45讲 知识梳理 圆上 圆内 圆外 (x1a)2(y1b)2r2(x1a)2(y1b)2r2(x1a)2(y1b)2r2 第45讲 知识梳理 3圆的一般方程 圆的标准方程与一般方程的关系：圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，展开后得到：x2y22ax2bya2b2r20.令 D2a，E2b，Fa2b2r2，则有 x2y2DxEyF0.(a)(1)配方后得到xD22yE2214(D
3、2E24F)(b)第45讲 知识梳理(2)当_时，方程(a)叫做圆的一般方程其圆心为_半径为_；当 D2E24F0 时，方程(a)表示一个点_；当_时，方程(b)无实数解，它不表示任何图形(3)一个二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件：x2、y2的系数相等且不等于零，即 AC0；不含 xy 项，即 B0；DA2EA24FA 0.D2E24F0 D2，E2 12 D2E24F D2，E2 D2E24F0，所以 3（x5）2y2（x52y2)，第45讲 要点探究 化简整理得：x2542y21542，所以以点254，0 为圆心，154 为半径的圆是两地购货的分界线 圆内的居民从
4、A 地购货便宜，圆外的居民从 B 地购货便宜，圆上的居民从 A、B 两地购货的总费用相等，因此可随意从 A、B 两地之一购货 第45讲 要点探究 点评 本题是圆的方程在实际问题中的应用，解题的关键在于如何将题设条件转化为数学关系这里是利用A、B两地的费用不同列出不等式，使问题变为判断点与圆的位置关系，从而使问题得以解决 第45讲 要点探究 如图 451，船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为 9 m，拱圈内水面宽 22 m船只在水面以上部分高6.5 m、船顶部宽4 m时通行无阻近日水位暴涨了 2.7 m，船已经不能通过桥洞了船员必须加重船载，降低船身试问船身必须降低多少
5、，才能顺利地通过桥洞？第45讲 要点探究 思路 当船行驶在河道的正中央时，要使船能够通过桥洞的最低要求是船顶最宽处的角点在圆拱桥的拱圈上 涨水后桥、船的示意图如图所示 第45讲 要点探究 以正常水位时河道中央为原点，建立如图所示的坐标系 设桥拱圆顶的圆心在 O1(x1，y1)，则 x10，因此桥拱圆顶在坐标系中的方程为 x2(yy1)2r2.其中 r 为桥拱半径 桥拱最高点 B 的坐标为(0,9)，桥拱与水平面的交点 A 的坐标为(11,0)圆 O1过点 A、B，因此，02(9y1)2r2,112(0y1)2r2，两式相减后得 12118y1810，y1209 2.22；代入到 112y21r
6、2中，即可解出 r11.22.第45讲 要点探究 所以桥拱圆顶的方程是 x2(y2.22)2125.93.当船行驶在河道的正中央时，船顶最宽处角点 C 的坐标为(x，y)，则 x2.使船能通过桥洞的最低要求，是点 C 正好在圆 O1上，因此 C(2，y)应满足圆 O1的方程，即 22(y2.22)2125.93，解出 y8.82.扣除水面上涨的 2.70，点 C 距水面为 8.822.706.12.船身在水面以上部分原高 6.5，为使船能通过桥洞，必须降低船身 6.56.120.38(m)以上 探究点3 与圆有关的最值问题第45讲 要点探究 例 3 实数 x，y 满足 x2y22x4y10，求
7、下列各式的最大值和最小值：(1)yx4；(2)3x4y；(3)x2y2.第45讲 要点探究 解答(1)方法一：令 yx4k，则 kxy4k0，x，y 满足 x2y22x4y10，所以圆心(1,2)到直线 kxy4k0 的距离不大于圆的半径 2，即|25k|k21 2，解得2021k0，yx4的最大值为 0，最小值为2021.第45讲 要点探究 方法二：令 yx4k，则 yk(x4)代入圆的方程，整理得(1k2)x2(24k8k2)x16k216k10，此方程有实数根，(24k8k2)24(1k2)(16k216k1)0，化简整理得 21k220k0，解得2021k0，yx4的最大值为 0，最小
8、值为2021.第45讲 要点探究(2)方法一：设 3x4yk，则 3x4yk0，圆心(1，2)到该直线的距离不大于圆的半径 2，即|38k|252，解得21k1，3x4y 的最大值为1，最小值为21.第45讲 要点探究 方法二：设 k3x4y，即 y34xk4，代入圆的方程，整理得 25x2(166k)xk216k160，此方程有实数根，(166k)2425(k216k16)0，化简整理得 k222k210，解得21k1，3x4y 的最大值为1，最小值为21.第45讲 要点探究 方法三：由(1)的方法三知，圆的方程中的 x、y 变为 x12cos，y22sin(0,2)，3x4y3(12cos
9、)4(22sin)6cos 8sin 1110cos()11其中tan 43，213x4y1，即 3x4y 的最大值为1，最小值为21.第45讲 要点探究(3)方 法 一：先 求 出 原 点 与 圆 心 之 间 的 距 离 d（10）2（20）2 5，根据几何意义，知 x2y2的最大值为(52)294 5，最小值为(52)294 5.第45讲 要点探究 方法二：由(1)的方法三知，圆的方程中的 x、y 变为 x12cos，y22sin(0,2)，x2y2(12cos)2(22sin)298sin 4cos 94 5sin()其中tan 12，94 5x2y294 5，即 x2y2的最大值为 9
10、4 5，最小值为 94 5.第45讲 要点探究 设点 P(x，y)是圆 x2y21 上任一点，求下列两式的取值范围(1)y2x1；(2)x2y22x6y1.思路(1)设 uy2x1变形为 y2u(x1)，则该直线与圆 x2y21 恒有公共点；(2)将圆的方程通过三角代换变成三角式代入求值表达式，利用参数求出范围 第45讲 要点探究 解答(1)方法一：没 uy2x1，变形得y2u(x1)，此直线与圆 x2y21 有公共点，故圆心(0,0)到直线的距离 d1，即u2u21 1，解得 u34，y2x1的取值范围是，34.第45讲 要点探究 方法二：由 y2ux，x2y21消去 y 后得：(u21)x
11、2(2u24u)x(u24u3)0，此方程有实数根，故 (2u24u)24(u21)(u24u3)0，解之得 u34，y2x1的取值范围是，34.第45讲 要点探究(2)将圆的方程 x2y21通过三角代换，变为 xcos，ysin(0,2)，x2y22x6y112cos 6sin 126sin2cos 22 10sin()其中tan 13，x2y22x6y1 的取值范围是22 10，22 10 规律总结 第45讲 规律总结 1本节内容主要从两个方面进行考查：一是找出确定圆的几何要素(圆心、半径)，进而求圆的方程或根据一个一元二次方程判断它是不是圆以及求参数的取值范围；二是利用圆的知识解决一些简
12、单的实际问题 2求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系进而求得基本量和圆的方程具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量 第45讲 规律总结 3对于圆的一般方程 x2y2DxEyF0，使用时，特别注意表示圆时的条件：D2E24F0.在圆的方程中有参数的情况下，这一条件，解题时往往容易忽略 4与圆有关的最值问题，其几何意义较为明显，因此，可以利用几何图形列出代数表达式(等式或不等式)求解，也可以使用函数方法求解，即根据已知条件得到相关函数，然后求在某约束条件下的最值(值域)
