1、成都市第八中学高2023届高三第一次质量检测 数学 理科满分: 150分 年级: 高三 一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 设集合 , 则 （ ）A. B. C. D. 2. 设 , 则 （ ）A.0B. C.1D. 3. 在 中, 内角 的对边分别为 , 且 , 则 的形状是 ( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4. 已知实数 满足约束条件 , 则 的最大值为（ ).A.3B.0C. D. 5.已知某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积等于（ ）A. B.160 C. D. 6.函数 的图象可能是（ )A.B. C.D.7. 我们把
2、离心率为 的椭圆称为“最美椭圆”. 已知椭圆 为“最美椭圆”, 且以椭圆 上一点 和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 4 , 则椭圆 的方程为 ( ).A. B. C. D. 8. 已知函数 , 则 的大小关系是 ( )A. B. C. D. 9. 甲乙丙等七人相约于国庆节到电影院观看电影长空之王，恰好买到了七张连号的电影票， 若甲乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A.240B.192C.96D.4810. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差, 计算完毕才发现有个同学的分数还末录入, 只好 重算一次.已知原平均分和原方差分别为 , 新平均分和新方差分别
3、为 , 若此同学的得 分恰好为 , 则 ( )A. B. C. D. 11. 设双曲线 的左、右焦点分别为 , 过 且斜率为 的直线与 双曲线 的右支交于点 . 若 , 则双曲线 的离心率为（ ）A. B. 3C.2D. 12. 已知 , 其中 为自然对数的底数, 则（ ）A. B. C. D. 二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 的展开式中常数项是_ (用数字作答).14 若向量 满足 , 则 _.15 若函数 存在单调递增区间, 则 的取值范围是_.16如图, 棱长为 1 的正方体 中, 为线段 上的动点(不含端点), 有下列结论:平面 平面 ;多面体 的体积为定值;直线
4、 与 所成的角可能为 ; 能是钝角三角形.其中结论正确的序号是_ (填上所有序号).三解答题（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17 设 是公比为正数的等比数列 .(I) 求 的通项公式;(II) 设 是首项为1, 公差为2的等差数列, 求数列 的前 项和 .18.我省将在 2025 年全面实施新高考, 取消文理科, 实行“ ”, 其中, “3”为全国统考科目语 文、数学、外语, 所有学生必考: “1”为首选科目, 考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目 中选择其中一科: “2”为再选科目, 考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科. 为 了解各年龄层对新高考
5、的了解情况, 随机调查50人 (把年龄在 称为中青年, 年龄在 ) 称为中老年，并把调查结果制成下表:(1)把年龄在 称为中青年, 年龄在 称为中老年, 请根据上表完成 列联表, 是否有 的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?(2)若从年齡在 ) 的被调查者中随机选取3人进行调查, 记选中的3人中了解新高考的人数为 , 求 的分布列以及 .附: .19.如图所示, 四棱锥 的底面 是平行四边形, 分别是棱 的中点.(1)求证: 平面 ;(2)若 , 求二面角 的正切值.20.已知 为椭圆 的左、右焦点, 点 为其上一点, 且 .(1) 求椭圆 的标准方程;(2)过点 的直线 与
6、椭圆 相交于 两点, 点 关于坐标原点 的对称点 , 试问 的面 积是否存在最大值? 若存在, 求出这个最大值; 若不存在, 请说明理由.21.已知函数 .(1)当 时, 求 的单调区间:(2) 若 对任意 恒成立, 求实数 的取值范围.选做题22（10分）在直角坐标系 中, 曲线 的参数方程为 , ( 为参数). 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 的极坐标方程为 .(1) 求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程;(2) 若直线 过点 且与直线 平行, 直线 交曲线 于 两点, 求 的值.23 已知 为正数, 且满足 . 证明:(1) ;(2) .成都市第八中学高2
7、023届高三第一次质量检测 数学 理科参考答案及解析一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 【答案】A 【解析】根据题意， 或 则 。故选: A。2. 【答案】C 【解析】 , . 故选 C.3. 【答案】B 【解析】 , , , 的形状是等腰三角形. 故选 A.4. 【答案】B 【解析】略5. 【答案】D 【解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱 去掉一个三棱锥组成,三棱柱的底面是一个直角边长凷 4 的直角三角形, 高为8, 即 , , 该几何体的表面积为 故选: D.6. 【答案】D 【解析】首先套一个 , 得 , 排除 并且 2 的 的绝对值次方在 上单调递增, 在
8、到0的范围内单调递减，两个函数相乘单调递 减, 所以选D。7. 【答案】D 【解析】略8. 【答案】A 【解析】因为函数 ,所以 所以 为 上的减函数,因为 ,所以 , 即 .故选: A.9. 【答案】B 【解析】丙在正中间 (4号位)，甲乙两人只能坐 号位, 有4种情况，考虑甲乙的顺序有 种情况，剩下的4个位置其他四人全排列有 种情况， 故不同的坐法的种数为 .故选: B.10. 【答案】C 【解析】设这个班有 个同学, 数据分别是 , ,第 个同学没登录,第一次计算时总分是 ,方差是 第二次计算时, ,方差 故 ,11. 【答案】B 【解析】由题意可知 ,由双曲线的定义可得 , 设 , 则
9、 ,进而有 ,由余弦定理可得, ,则有 ,化简得 即 ,因为 , 所以 , 所以 12. 【答案】C 【解析】令 , 则 ,当 时, , 当 时, , 所以当 时, 取得最小值,即 , 所以 ,所以 ;因为 ,所以 , 令 , 则 ,当 时, , 当 时, ,所以当 时, 取得最小值, 所以 ,所以 , 所以 :设 设 在 上, 递减,所以 所以 递增,所以 , 即 所以 综上: 二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 【答案】(1)240 (2) (3) (4) 【解析】(1) 其二项式展开通项： 当 ，解得 的展开式中常数项是 : . (2) 由题意, 可得 因为 , 所以
10、,所以 . 故答案为: . (3) 存在单调递 增区间 在 上有解, 即 在 上有解,令 , 则 当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,又 , ,当 时, ,令 , 则 当 时, , 函数单调递减; 当 时, , 函数单调递 增, , 即 恒成立, 此时不满足题意. 的取值范围是 .故答案为: . (4) 对于, 正方体 中, , , 平面 平面 平面 平面 ，故正确;对于 , 到平面 的距离 ， 三棱锥 , 为定值, 故正确;对于，见上图，由题得 ，设 ，所以 所以 当 时， ，即 是钝角. 此时 是钝角三角 形.故正确.故答案为:三解答题（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算
11、步骤）14. 【答案】() () 【解析】 (I) 设 是公比为正数的等比数列 设其公比为 解得 或 的通项公式为 (II) 是首项为1, 公差为2的等差数列 数列 的前 项和 15. 【答案】(1)详情见解析(2) . 【解析】（1）解： 列联表如图所示： ,所以有 的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；(2) 解: 年龄在 的被调查者共 5 人, 其中了解新高考的有2人, 则抽取的3人中了解新高考的人数 可能取值为 .则 .所以X的分布列为： .16. 【答案】(1)详情见解析(2) . 【解析】(1) 证明: 取 中点 , 因为 分别为 中点, 是平行四边形 所以 , 且
12、, 所以 是平行四边形, 所以 ,因为 平面 平面 , 所以 平面 .(2) 因为 , 所以 ,因为 , 且 平面 平面 ,所以 平面 . 取 中点 , 因为 ,所以 , 因为 平面 平面 ,所以 , 而 平面 , 进而 平面 平面 ,所以 , 所以 是二面角 的平面角. 设 ,因为 , 所以 , 所以 .17. 【答案】(1) .(2)直线 的方程为 的面积有最大值, 其最大值为3 . 【解析】(1) 设椭圆的标准方程为 , 则 解之得: 所以椭圆的标准方程为 .(2) 如图所示,设直线 ,则 消去 整理得 ，设 的面积为 , 则 ,令 , 则 ,又设 , 则 , 在 上为增函数, ,所以,
13、 存在当 时, 即直线 的方程为 的面积有最大值, 其最大值为 3 .18. 【答案】（1） 的递增区间为 , 无递减区间;（2） . 【解析】(1) 解: 当 时, ,求导 , 设 , 则 ,令 , 解得: , 在 单调递减, 在 单调递增, 则 , 在 上恒成立, 的递增区间为 , 无递减区间;(2) 解: , 由（1）知: ,又因为 在 单调递增, 则 ,当 时, 在 单调递增, , 满足题意. (2)当 时, 设 , 则 ,当 时, 在 递增, , , 使 在 单调递增, 当 时, ,即 , 所以 在 上单调递减,又 当 时, , 不满足题意. 的 取值范围为 , 综上可知: 实数 的取值范围 .19. 【答案】（1） .（2）2 【解析】(1) 因为曲线 的参数方程为 , ( 为参数),所以曲线 的普通方程为 . 由 ,得 , 即 ,因为 , 所以直线 的直角坐标方程为 .(2) 因为直线 的斜率为 , 所以 的倾斜角为 ,所以过点 且与直线 平行的直线 的方程可设为 ( 为参数).设点 对应的参数分别为 , 将 代入 ,可得 ,整 理得 , 则 ,所以 .20. 【答案】(1)详情见解析(2)详情见解析 【解析】(1)因为 , , 又 ,故有 。所以 。(2)因为 为正数且 ,故有 所以
