1、1.2排列与组合1.2.1排列第一课时排列与排列数公式内容标准学科素养1.了解排列的概念2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.应用数学抽象发展逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第6页基础认识知识点一排列的定义在1.1节的例9中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？提示：根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方
2、法共有326种(2)从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？提示：根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有43224种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数. 知识梳理1.排列的定义一般地， 从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2.排列数的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示知识点二排列数公式从n个不同元素中取出2个元素的排
3、列数A是多少？A，A(mn)又各是多少？提示：求排列数A可以这样考虑：假定有排好顺序的两个空位如图，从n个元素a1，a2，an中任意取2个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样一种填法得到因此，所有不同填法的种数就是排列数A.第一位 第二位根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为An(n1)同理，求排列数A可以按依次填3个空位来考虑，有An(n1)(n2)求排列数A可以按依次填m个空位来考虑：第1位第2位第3位第m位 根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有n(n1)(n2)n(m1)种填法 知识梳理排列数公式乘积式An(n1)(n2)(nm1
4、)阶乘式A性质An！备注n，mN*，mn自我检测1从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题()A1B3C2 D4答案：C2从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B甲乙，丙乙，丙甲C甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D甲乙，甲丙，乙丙答案：C授课提示：对应学生用书第7页探究一排列的概念阅读教材P20练习1写出：(1)从4个不同元素中任取2个元素的所有排列；(2)从5个不同元素中任取2个元素的所有排列解析：(1)设4个不同的元素分别是A、B、C、D，则从4个不同元素中取出2个元素所有排
5、列为AB、BA、AC、CA、AD、DA、BC、CB、BD、DB、CD、DC.(2)设5个不同元素分别为A、B、C、D、E，则从5个不同元素中取出2个元素所有排列为AB、BA、AC、CA、AD、DA、AE、EA、BC、CB、BD、DB、BE、EB、CD、DC、CE、EC、DE、ED.例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信解析(1)中票价只有三种，虽然
6、机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题方法技巧确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的
7、位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序跟踪探究1.判断下列问题是否为排列问题(1)会场有50个座位，要求选出3个座位；若选出3个座位安排三位客人(2)从集合M1,2，9中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解析：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有ab，a，
8、b的大小关系一定；在双曲线1中，不管ab还是ab，方程1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题探究二排列数公式的应用阅读教材P20练习4求证：(1)AnA；(2)A8A7AA.证明：(1)AnAnAnA等式成立(2)A8A7A8！87！76!8！8！7！7！A.等式成立例2(1)计算A和A.(2)用排列数表示(55n)(56n)(69n)(nN*且n55)；(3)求证AAmA.解析(1)A1514132 730，A654321720.(2)55n,56n，69n中的最大数为69n，且共有(69n)(55n)115(个)数，(55
9、n)(56n)(69n)A.(3)证明：AAmmA，AAmA.方法技巧1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题2排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算跟踪探究2.计算.解析：1.3证明：AAnA，并用此结论计算A2A3A8A.证明：AA(n1)！n!(n1)n！n！nn！nA.A2A3A8A(AA)(AA)(AA)(AA)AA9！1362 879.探究三排列的简单应用阅读教材P18例2某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比
10、赛？题型：排列和排列数公式的应用方法步骤：(1)一场比赛就是两个队的一个排列(2)从14个元素中任取2个元素共有A个排列，因此共进行A场比赛例3用排列数表示下列问题(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数；(3)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数解析(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A.(2)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A.
11、(3)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A.方法技巧首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题跟踪探究4.从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？解析：一个两位数就是两个数字的一个排列因此，共有A12个排列答案：125写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法解析：所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC, CABD, CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.授课提
12、示：对应学生用书第8页课后小结(1)排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准(2)排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用素养培优1.盲目地套用公式致误在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为()AAB43C34 D12易错分析：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式致误考查数学建模的学科素养自我纠正：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选
13、取方法，由乘法原理共有333334(种)，故选C.答案：C2遗漏某些情况出错用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的比1 000大的奇数共有()A36个 B48个C66个 D72个易错分析：只考虑了四位数的情况，而比1 000大的奇数还可能是五位数自我纠正：四位的奇数如图，最后一位只能是1或3有两种取法，1,3又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个位置有A种排法，共有23A36(个)任一个五位的奇数都符合要求，共有23A36(个)，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和为72，故选D.答案：D3忽视隐含条件致误不等式A6A的解集为_易错分析：没有正确理解A中隐含0x28致误考查数学运算自我纠正：由A6A，得6，化简得x219x840，即7x12.又，2x8.又xN*，x8.答案：8
