1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二学业分层测评阶段三3 组合第 2 课时 组合的应用 上一页返回首页下一页1能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题(重点)2能解决有限制条件的组合问题(难点)上一页返回首页下一页基础初探教材整理 组合的实际应用 阅读教材 P15P16，完成下列问题1组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从 n 个_元素中取出 m(mn)个元素不同点：排列与元素的_有关，组合与元素的_无关不同顺序顺序上一页返回首页下一页2应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算
2、(4)结论：根据计算结果写出方案个数上一页返回首页下一页1把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有_【解析】把三张票分给 10 个人中的 3 人，不同分法有 C3101098321 120(种)【答案】120上一页返回首页下一页2甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有_种【解析】甲选修 2 门，有 C246(种)不同方案乙选修 3 门，有 C344(种)不同选修方案丙选修 3 门，有 C344(种)不同选修方案由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有 64496(种)【答案】96上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将
3、你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型无限制条件的组合问题 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选 5 人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加上一页返回首页下一页【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题【自主解答】(1)从中任取 5 人是组合问题，共有
4、C512792 种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2 人，是组合问题，共有 C2936 种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5 人，共有 C59126种不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C133 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，有 C49种选法共有 C13C49378 种不同的选法上一页返回首页下一页解答简单的组合问题的思考方法1弄清要做的这件事是什么事2选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果上一页返回首页下
5、一页再练一题1现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名(1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即 C21010921 45.(2)可把问题分两类：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法；第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法，即 C26C2421(种)上一页返回首页下一页有限制条件的组合问题 高二(1)班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从
6、中选出3 名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼使用两个计数原理解决上一页返回首页下一页【自主解答】(1)从余下的 34 名学生中选取 2 名，有 C234561(种)不同的取法有 561 种(2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C334种或者 C335C234C3345 984 种不同的
7、取法有 5 984 种(3)从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有 C120C2152 100 种不同的取法有 2 100 种上一页返回首页下一页(4)选取 2 名女生有 C120C215种，选取 3 名女生有 C315种，共有选取方式 NC120C215C3152 1004552 555 种不同的取法有 2 555 种(5)选取 3 名的总数有 C335，因此选取方式共有 NC335C3156 5454556 090 种不同的取法有 6 090 种上一页返回首页下一页常见的限制条件及解题方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少
8、作为分类依据2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解上一页返回首页下一页再练一题2“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川 512”抗震救灾中，某医院从10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴赈灾前线，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问：(1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？上一页返回首页下一页【解】(1)分步：首先从 4 名外
9、科专家中任选 2 名，有 C24种选法，再从除外科专家的 6 人中选取 4 人，有 C46种选法，所以共有 C24C4690(种)抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选 2 名外科专家，共有 C24C46种选法；选 3 名外科专家，共有 C34C36种选法；选 4 名外科专家，共有 C44C26种选法根据分类加法计数原理，共有 C24C46C34C36C44C26185(种)抽调方法上一页返回首页下一页法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 C610种选法，考虑选取 1 名外科专家参加，有C14C56种选法；没有外科专家参加，有
10、C66种选法，所以共有：C610C14C56C66185(种)抽调方法(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有 C66种选法；有 1 名外科专家参加，有 C14C56种选法；有 2 名外科专家参加，有 C24C46种选法所以共有 C66C14C56C24C46115(种)抽调方法上一页返回首页下一页探究共研型组合在几何中的应用探究 1 已知平面，在 内有 4 个点，在 内有 6 个点过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？【提示】所作出的平面有三类：内 1 点，内 2 点确定的平面，有 C14C26个；内 2 点
11、，内 1 点确定的平面，有 C24C16个；，本身所作的平面最多有 C14C26C24C16298 个上一页返回首页下一页探究 2 上述问题中，以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？【提示】所作的三棱锥有三类：内 1 点，内 3 点确定的三棱锥，有C14C36个；内 2 点，内 2 点确定的三棱锥，有 C24C26个；内 3 点，内 1点确定的三棱锥，有 C34C16个最多可作出的三棱锥有 C14C36C24C26C34C16194 个探究 3 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？【提示】等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积相等，且平面，体积不相同的三棱锥最多有 C36C34C26C241
12、14 个上一页返回首页下一页 在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？【精彩点拨】解答本题可用间接法求解，28 条线段任取 2 条的组合中除去不能构成异面直线的情况或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有 3 对异面直线来解决上一页返回首页下一页【自主解答】法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共 28 条底面、侧面和对角面共 12 个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8个顶点中过每个顶点的 3 条面对角线不能构成异面直线，故共有 C22812C268C23174 对异面直线法二：因为一个三棱锥的 6 条棱中有且仅有 3 对异面直线，而一个正方体的 8 个顶点中
13、取 4 个点的取法有 C48种，上述 12 个底面、侧面和对角面每个面的4 个顶点不能构成三棱锥，故一个正方体的 8 个顶点可构成 C481258 个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有 3(C4812)358174对上一页返回首页下一页几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等.解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算.上一页返回首页下一页再练一题3四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱中点中取 3 个点，使它们与点 A 在同一平面上，有多少种不同
14、的取法？【解】如图所示，含顶点 A 的四面体的 3 个面上，除点A 外每个面都有 5 个点，从中取出 3 点必与点 A 共面，共有 3C35种取法，含顶点 A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有 3 种取法根据分类加法计数原理，不同的取法有 3C35333 种上一页返回首页下一页构建体系上一页返回首页下一页1楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏不相邻的灯，则关灯方案有()A72 种 B84 种 C120 种 D168 种【解析】需关掉 3 盏不相邻的灯，即将这 3 盏灯插入 9 盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有 C310120(种)故选 C.【答案】C上一页返
15、回首页下一页2若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60 种B63 种C65 种D66 种【解析】均为奇数时，有 C455 种；均为偶数时，有 C441 种；两奇两偶时，有 C24C2560 种，共有 66 种【答案】D3由三个 3 和四个 4 可以组成_个不同的七位数【解析】在七个位置上选出 3 个位置放入 3，其余放入 4，所以有 C37C4735 个不同的数【答案】35上一页返回首页下一页4在直角坐标平面 xOy 上，平行直线 xn(n0,1,2，5)与平行直线 yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个.【导学号：626
16、90015】【解析】在垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条，在垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C26C261515225 个【答案】225上一页返回首页下一页5在 12 件产品中，有 10 件正品，2 件次品，从这 12 件产品中任意抽出 3件(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有多少种？(3)抽出的 3 件中至少有 1 件次品的抽法有多少种？上一页返回首页下一页【解】(1)有 C312220 种抽法(2)分两步：先从 2 件次品中抽出 1 件有 C12种方法；再从 10 件正品中抽出 2件有 C210种方法，所以共有 C12C21090 种抽法(3)法一：分两类，即包括恰有 1 件次品和恰有 2 件次品两种情况，与(2)小题类似共有 C12C210C22C110100 种抽法法二(间接法)：从 12 件产品中任意抽出 3 件有 C312种方法，其中抽出的 3 件全是正品的抽法有 C310种不合要求，所以共有 C312C310100 种抽法上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评 点击图标进入
