1、题型练 9 大题综合练(一)1.(2015 吉林第三次调研)设ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,设 S 为ABC 的面积,满足 S=(a2+c2-b2).(1)求 B;(2)若 b=,设 A=x,y=(-1)a+2c,求函数 y=f(x)的解析式和最大值.2.(2015 重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个.(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.3.如图,在多面体 ABCDEF 中,正方
2、形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,ABCD,ADCD,AB=AD=1,CD=2,M,N 分别为 EC 和 BD 的中点.(1)求证:BC平面 BDE;(2)求直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值.4.(2015 安徽高考)设椭圆 E 的方程为 =1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 .(1)求 E 的离心率 e;(2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ,求 E的方程.5.设函数
3、f(x)=2ln(x+1)+.(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)如果对所有的 x0,都有 f(x)ax,求 a 的最小值;(3)已知在数列an中,a1=1,且(1-an+1)(1+an)=1,若数列an的前 n 项和为 Sn,求证:Sn -ln an+1.参考答案 1.解:(1)由已知及三角形面积公式和余弦定理得 acsin B=2accos B,tan B=.又 B(0,),B=.(2)由(1)知 B=,ABC 的内角和 A+B+C=.由 A0,C0 得 0A .由正弦定理,知 a=sinA=sin x=2sin x,c=sin C=2sin(-),y=(-1)a+2c=2(-1)si
4、n x+4sin(-)=2 sinx+2 cos x=2 sin()(),当 x+,即 x=时,y 取得最大值 2.2.解:(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=.(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.综上知,X 的分布列为 X 0 1 2 P 故 E(X)=0 +1 +2 (个).3.(1)证明:在梯形 ABCD 中,取 CD 的中点 H,连接 BH,因为 AD=AB,ABCD,ADCD,所以四边形 ADHB 为正方形.又 BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2,所以 CD2=
5、BD2+BC2,所以 BCBD.又平面 ADEF平面 ABCD,平面 ADEF平面 ABCD=AD,DEAD,所以 DE平面 ABCD.因为 BC平面 ABCD,所以 BCDE.又 BDDE=D,故 BC平面 BDE.(2)解:由(1)知 DE平面 ABCD,ADCD,所以 DE,DA,DC 两两垂直.以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则C(0,2,0),B(1,1,0),E(0,0,1),M(),N()=(-1,1,0),(-).设 n=(x,y,z)为平面 BMC 的法向量,则 即-可取 n=(1,1,2).又 (-),所以 cos=-.直线 MN 与平面 BMC
6、 所成的角的正弦值为 .4.解:(1)由题设条件知,点 M 的坐标为(),又 kOM=,从而 ,进而得 a=b,c=-=2b,故 e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB 的方程为 =1,点 N 的坐标为(-).设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为(),则线段 NS 的中点 T 的坐标为(-).又点 T 在直线 AB 上,且 kNSkAB=-1,从而有 -解得 b=3.所以 a=3,故椭圆 E 的方程为 =1.5.(1)解:f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=.当-1x-2+时,f(x)-2+时,f(x)0,所以函数 f(x)在(-1,-2+)内单调递减,在(
7、-2+,+)上单调递增.(2)解:设 g(x)=2ln(x+1)+-ax,则g(x)=-a=-a=-(-)+2-a.因为 x0,所以-1-(-)0.当 a2 时,2-a0,g(x)0,所以 g(x)在0,+)上单调递减,而 g(0)=0,所以对所有的x0,g(x)0,即 f(x)ax.当 1a2 时,02-a0,g(x)单调递增,而 g(0)=0,所以当 x(-)时,g(x)0,即 f(x)ax.当 a1 时,2-a1,g(x)0,所以 g(x)在0,+)上单调递增,而 g(0)=0,所以对所有的 x0,g(x)0,即 f(x)ax.综上,a 的最小值为 2.(3)证明:由(1-an+1)(1
8、+an)=1,得 an-an+1=anan+1,由 a1=1 得,an0,所以 =1,数列 是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列,所以 =n,an=,an+1=.Sn -ln an+1ln(n+1)+0,即 ln(x+1)+0.(方法一)令 x=,得 ln ,即 ln(n+1)-ln n+(-),因为 -(-)=ln(n+1)+,所以 ln(n+1)+-ln an+1.(方法二)Sn -ln an+11+ln(n+1)+.下面用数学归纳法证明.当 n=1 时,令 x=1 代入 ln(x+1)+ln 2+,不等式成立.假设当 n=k(kN*,k1)时,不等式成立,即 1+ln(k+1)+,则当 n=k+1 时,1+ln(k+1)+,令 x=代入 ln(x+1)+ln ,ln(k+1)+ln(k+1)+ln =ln(k+2)+=ln(k+2)+,即 1+ln(k+2)+.由可知不等式 1+ln(n+1)+对任何 nN*都成立.故 Sn -ln an+1.
