1、导数及其应用一、【考点分析】2010年江苏省高考说明中，导数及其应用属于必做题部分，其中导数的概念是A级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B级要求.导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.二、【典例解析】【例题1】设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 .【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法 ，令 得，故切点，代入直线方程，得 【答案】【例题2】函数单调递增区间是 .【解析
2、】令.【答案】【例题3】设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是 .（填图象序号） 【解析】 利用导函数的图像的零点，可以函数在及上单调递增，而在上单调递减从而只有图像符合要求【答案】【例题4】函数在时有极值，则的值分别为_ .【解析】由已知，得 即 解得，经检验：当时，不是极值点; 当时，符合题意.【答案】 【例题5】函数在上单调递增，则实数的最大值为 . 【解析】(方法1),由已知,得即在区间上恒成立., (方法2) 令,则把函数看成是函数,与函数的复合函数,在区间上单调递增,要使函数在上单调递增,只要在区间上单调递增即可.当且仅当, 即,【答案】【例题6】已知函数在与时都
3、取得极值,(1)求的值与函数的单调区间;(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由已知,得，即,解得 极大值极小值函数的单调递增区间是与,单调递减区间是.（2）由（1）得，在区间上， 由已知，得，解得 .故所求实数的取值范围为.【例题7】已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.【解析】（1），令 ，解得 . 在上, .,. （2）设切点为，则所求切线方程为 切线过点，解得或 切线方程为即或. 【例题8】设函数,且函数在处取得一个极值.（1）求实数的值;（2）对于任意实数，恒成立，求实数的最大值；（3）若方程有且仅有一个实根，求实数的取
4、值范围【解析】(1)，由已知，得，即,解得 .经检验：符合题意. 故所求实数的值为. (2) , (方法1)由已知,得,而, .实数的最大值为 (方法2) , 即 恒成立, ,解得，实数的最大值为(3) 当时, ;当时, ;当时, ; 当时,取得极大值 ; 当时,取得极小值 ; 当 或时, 方程有且仅有一个实根. 解得 或.实数的取值范围为.【例题9】从边长为的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的正四棱柱铁盒，要求正四棱柱的高度与底面正方形边长的比值不超过常数. 问：取何值时，容积有最大值【解析】依题意: , 解得.函数的定义域为. 若，即
5、，则由，解得当时, ;当时, .当时, 容积取得极大值,即为最大值,且. 若，即，则有知V在定义域上为单调递增函数.当时，答: 若,则当时, 容积有最大值;若,则当时, 容积有最大值.【例题10】已知函数，其中是自然常数，（1）讨论时, 函数的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）时,， 当时，;当时，在区间上是单调递减函数;在区间上是单调递增函数. 取得极小值为（2）由(1)得 在上的最小值为1，令，当时，在上单调递增.在（1）的条件下， （3） 假设存在实数，使函数（）有最小值3， 若，则,
6、 在上单调递减，由,得（不合题意,舍去） 若,即,则当时, ;当时, .在上单调递减，在上单调递增.,由,得符合题意.若,即,则在上单调递减，由,得（不合题意,舍去）综上所述: 存在实数，使得当时有最小值3.三、【巩固练习】【练习1】在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 【答案】【解析】设点的横坐标为，由知，又点在第二象限，所以【练习2】函数的单调减区间为 【答案】【解析】，由得单调减区间为【练习3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 个.【答案】 【解析】由图可知:函数在开区间内只有1个极小值点.【
7、练习4】 已知函数，当时，有极大值, 则的值分别为 .【答案】【解析】当时，即解得. 经验证: 即为所求.【练习5】对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是 .【答案】 【解析】，曲线在处的切线的斜率为.切点为,切线方程为.令得 ,.数列的前项和为【练习6】已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.【解析】设在上是减函数，在上是增函数在上是减函数，在上是增函数. 解得经检验，存在时，满足题设的两个条件.【练习7】设函数（），其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，
8、求函数的极大值和极小值；【解析】（1）当时，得，且，曲线在点处的切线方程是， 即（2）令，解得或由于，以下分两种情况讨论 若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且 若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且【练习8】设其导函数的图象经过点，（1）求函数的解析式和极值；（2）对都有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），且的图像经过点是方程的根. 解得 .由的图象,可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值函数有极大值（2）由（1）可知，对都有恒成立，即对，恒成立当时，显然成立； 当时，等价于，即
9、 而当，有，当且仅当，即时,上式取等号, 0. 所求实数的取值范围为.【练习9】甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【解析】 根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点 km,则, 又设总的水管费用为元，依题意有： ,令,解得在上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在处取得最小值，此时AC=50x=20(km).答: 供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.【练习10】设，.（1）令，讨论在上的单调性，并求极值；（2）求证：当时，恒有.【解析】（1）,，列表如下：20极小值在内是减函数，在内是增函数，在处取得极小值为（2）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加当时，即当时，恒有
