1、13.1 数学归纳法及其应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 13.1数学归纳法及其应用双基研习面对高考 双基研习面对高考 1由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做_.2对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性，先证明当n取第1个值n0时，命题成立，然后假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，证明当nk1归纳法时，命题也成立，这种证明方法叫做_用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1)_；(2)_数学归纳法证明n取第一个自然数n0时命题成立假设nk(kN*，kn0)时，命题成立，证明当nk1时，命题成立思考感悟用数学归纳法证明问题时，只
2、证明第二步可以吗？提示：不可以，第一步是证明问题的基础，即从哪个自然数开始递推；第二步是递推的依据,即解决这个问题为什么能由上一个自然数成立可推得下一个自然数也成立，这是归纳法的实质，二者缺一不可 课前热身 1(教材例 1 改编)用数学归纳法证明：135n(n12)2(n 为正奇数)时，假设 n k 成立，则需推证 n _成立()Ak1 Bk2C.k2D.k21答案：B 2在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条时，第一步检验 n 等于()A1 B2C3 D0答案：C3已知 f(n)1n 1n1 1n2 1n2，则()Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1213B
3、f(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2)121314Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1213Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)121314答案：D4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.答案：5观察下列不等式：112，112131,112131732，11213 1152,11213 131 52，由 此 猜 测 第 n 个 不 等 式 为_(nN*)答案：1121312n1n2考点探究挑战高考 用数学归纳法证明等式 考点突破 用数学归纳法证明等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，从nk
4、到nk1时，等式两边会增加多少项,增加怎样的项难点在于寻求nk时和nk1时的等式的联系用数学归纳法证明：对 任 意 的n N*，113 135 12n12n1n2n1.例1【思路分析】从 n1 验证 nk1 时的结论形式 11312k12k3 k12k3.【证明】(1)当 n1 时，左边 11313，右边121113，左边右边，所以等式成立(2)假设当 nk(kN*)时等式成立，即有113 13512k12k1k2k1，则当 nk1 时，113 13512k12k112k12k3 k2k112k12k3 k2k312k12k32k23k12k12k3 k12k3k12k11，所以当 nk1 时
5、，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN*等式都成立【名师点评】证明nk1时的命题时，实际就是在nk的命题加添第k1项若不等式是关于正整数的不等式时，可以用数学归纳法证明其过程，与证明等式类似用数学归纳法证明不等式 例2设 nN*，n1，用数学归纳法证明：1 12 13 1n n.【思路分析】验证n2成立，证明nk1不等式成立，要用nk时的不等式【证明】记 f(n)1 12 13 1n(nN*，n1)，(1)当 n2 时，f(2)1 12 2，不等式成立；(2)假设当 nk(kN*，k2)时，不等式成立，即 f(k)1 12 13 1k k，则当 nk1 时，有 f(k1)f(k)1k1
6、k1k1 kk11k1 k1k1 k1，当 nk1 时，不等式也成立综合(1)，(2)知，原不等式对任意的 nN*(n1)都成立【思维总结】在证明nk1的不等式时，本方法采用了放缩法互动探究 1 设 nN*，n1 用数学归纳法证明：112131nn21.证明：(1)当 n2 时，f(2)11232，当 n3 时，f(3)112133213116 321；(2)假设当 nk(kN*，k2)时，不等式成立，即 112131kk21，那么当 nk1 时，f(k1)112131k1k1k211k11 时有112131nn21 成立“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一
7、般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这是数列中常用的求an和Sn的方法用数学归纳法证明数列问题 例3 在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测：an，bn的通项公式，并证明你的结论【思路分析】猜想an及bn，用数学归纳法证明【解】由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立 假设当nk(k1且kN*)时，结论成
8、立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么当 nk1 时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1a2k1bk(k2)2.所以当 nk1 时，结论也成立由可知 ann(n1)，bn(n1)2 对一切正整数都成立【思维总结】本题是an与bn相互依赖而递推：a1和b1a2，由a2和b1b2，.互动探究 2 在本例中，若数列an的前 n 项和为Sn，用数学归纳法证明：Snnn1n23.证明：(1)当 n1 时，S1a121233命题成立(2)假设 nk(kN*)时，命题成立，即 Skkk1k23.那么 Sk1Skak1kk1k23(k1)(k2)k1k2k33k1k11k123
9、，即当 nk1 时，Sk1 命题成立由以上可知，an的前 n 项和 Snnn1n23对所有 nN*都成立方法技巧1数学归纳法与递推思想 步骤(1)，当nn0时命题成立；步骤(2)，取kn0，则nk1时命题也成立，由步骤(2)，取kn01，则nk2时命题也成立；由此递推断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 方法感悟 数学归纳法的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则会导致错误 2用数学归纳法可以证明与正整数有关的一些命题：等式、不等式、整除及数列问题失误防范1运用数学归纳法应注意：nn0时n0的取值；证明nk1时成立必须用上归纳假设.2“归纳
10、猜想证明”的解题方法，其中“猜想”是对满足题意的所有“n”值都成立的规律的体现，不是部分“n”值考向瞭望把脉高考 从近两年的高考试题来看，数学归纳法是高考的常考内容，主要以解答题的形式考查：(1)运用数学归纳法证明一些与正整数有关的命题(如等式和不等式)；(2)对于一些与正整数有关的探索性问题，往往需先归纳、猜想，然后用数学归纳法进行论证，难度中等或较大主要是在数列的解答题中出现，有时是一个填空题，归纳猜想出一个一般性结论考情分析 在2010年的高考中，浙江理第14题，陕西理第12题等都是由特殊到一般的归纳推理的填空题，大纲全国卷理第22题可用数学归纳法证明bn的通项公式或者探索c的值同样卷理
11、第18题第(2)问中也可用数学归纳证明.预测2012年高考中以解答题的形式求出数列的通项公式或Sn或者由an和Sn构成的不等式，用数学归纳法证明，甚至与函数结合起来再转化为数列(本题满分10分)(2010年高考江苏卷)已知ABC的三边长是有理数求证：(1)cosA是有理数；(2)对任意正整数n，cosnA是有理数 规范解答 例【证明】(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cosAAB2AC2BC22ABAC是有理数(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sinAsinnA 都是有理数当 n1 时，由(1)知 cosA 是有理数，从而有sinAsinA1cos2A 也是有理数.4 分
12、假设当 nk(k1)时，coskA 和 sinAsinkA 都是有理数当 nk1 时，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由和归纳假设，知 cos(k1)A 与 sinAsin(k1)A 都是有理数，即当 nk1 时，结论成立.9 分综合、可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数10 分【名师点评】本题(1)考查了余弦定理的运算，对于理科学生来说，属于基础题，易得分；(2)主要是利用数学归纳法进行证明，属于中档题，应该能得分，但有的同学在
13、应用数学归纳法时，推理不严密造成失分名师预测 已知数列an的前 n 项和 Sn43(an1)，数列bn的前 n 项和 Tn72n2132 n，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)确定 an 和 nbn 的大小关系，并给予证明解：(1)Sn43(an1)，nN*，Sn143(an11)Sn1Sn43(an1an)，即 an143(an1an)，an14an，nN*.又 a1S143(a11)，所以 a14.an是首项为 4，公比为 4 的等比数列从而an的通项公式是 an4n，nN*.当 n1 时，b1T110，当 n2 时，bnTnTn17n3，n1 也适合这个公式，故 bn7n3
14、，nN*.(2)当 n1 时，a14,1b110，a11b1；当n2 时，a216,2b234，a22b2；当 n3时，a364,3b372，a34b4.猜测当 n4 时，annbn.下面用数学归纳法加以证明：当 n4 时，上面已证；假设当 nk(k4，kN*)时，akkbk，即 4k7k23k，则当 nk1 时，4k14(7k23k)，要证 4k17(k1)23(k1)，只需证 4(7k23k)7(k1)23(k1)即可，因为 4(7k23k)7(k1)23(k1)21k25k10，记 f(x)21x25x10，则函数 f(x)在 542，)上单调递增，由于 k4，kN*，则f(k)21k25k10f(4)3060，即 4(7k23k)7(k1)23(k1)0，即 4(7k23k)7(k1)23(k1)，即 4k17(k1)23(k1)，故当 nk1 时，不等式 annbn成立由以上可得，对一切 n4，nN*，annbn.综上所述，当 n1,2,3 时，annbn.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
