1、9.8 简单多面体与球(A、B)考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 9.8 简单多面体与球(A、B)双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理1多面体(1)多面体的概念若干个平面_围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点把一个多面体的任何一个面伸展为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做_多边形凸多面体一个凸多面体至少有_面，多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等(2)正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为端点都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体正多面体只有5种
2、：_，_，_，正十二面体，正二十面体4个正四面体正六面体正八面体2球及球面(1)球的定义半圆以它的_为旋转轴，旋转所成的曲面叫做_ 球面所围成的几何体叫做_，简称球，球面也可看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的点的集合球可用表示球心的字母表示，如球O.直径球面球体(2)球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面球的截面有如下性质：球心与截面圆心的连线_于截面球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r有如下关系：r _.若截面过球心，d0，rR，此时球面被截得的圆叫做_ 不过球心的截面截得的圆叫做小圆当dR时，r0，截面缩成一个点，此时平面与球面相切，此点称为切点，平面叫做球的切面垂直大圆
3、R2d2(3)球面距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段_的长度，叫做这两点的球面距离劣弧(4)球的表面积与体积S_；V 球_.4R243R3思考感悟球面上A、B两点间的直线距离和球面距离相等吗？提示：不相等，球面上A、B两点间的直线距离是指A、B与球心所确定的大圆的弦长，而A、B两点的球面距离是球面上两点之间的最短距离，是A、B与球心所确定的大圆在这两点之间的劣弧的长度1过球面上两点可能作球的大圆个数是()A有且只有一个 B一个或无数个C无数多个D不存在这种大圆答案：B课前热身2给出下列命题，其中正确的有()(1)底面是正多边形，而侧棱长与底面边长相等的
4、棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形就是正方形；(3)长方体的各个面是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥是正四面体A(1)(2)B(3)C(2)(3)D(3)(4)答案：B答案：C3(教材习题改编)三个球的半径的比是 123，其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的()A2 倍B.43倍C3 倍D4 倍4若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_答案：275在120的二面角内放一个半径为6的球，使球与两个半平面各有且仅有一个公共点，则这两个点之间的球面距离等于_答案：2考点探究挑战高考 考点突破(正)多面体的有关概念与计算 对于正多面体，从它的棱、面等方面研究
5、性质，进行量的计算【思路分析】凸多面体是一个八面体，即两个同底的四棱锥若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.26 B.23C.33D.23例1【答案】B【名师点评】正方体就是正六面体，连结正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成【解析】这个凸多面体由两个全等的正四棱锥组成，正四棱锥的底面边长为 2 22 1，高等于 22，所以体积 V21312 22 23，故选 B.(1)平面截球截面是圆面时，要充分利用圆的性质球的截面圆的半径r，球心到截面的距离d，球的半径R，三者之间的关系，能在直角三角形中体现：r
6、2R2d2.(2)要注意区分大圆面与小圆面的几何特征球的截面与球面距离【思路分析】AC的中点为ABC的外接圆圆心求BCBOC结论(2009 年高考四川卷)如图，在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点，ABC90，BABC，球心 O 到平面 ABC 的距离是3 22，则 B、C 两点的球面距离是()A.3 BC.43 D2例2【解析】ABC 所在的小圆的半径为r323 22 23 22，BCACsin 453 2 22 3.在OBC 中，OBOCBC3，BOC3，B、C 两点的球面距离是 33.【答案】B【思维总结】已知球的半径，求两点B、C的球面距离，首先求弦长BC，再求球心角BOC，最后
7、利用弧长公式求出球面距离变式训练 1 如图，球 O 的半径为 2，圆 O1 是一小圆，O1O 2，A、B 是圆 O1 上两点，若 A，B 两点间的球面距离为23，则AO1B_.解析：由 A、B 两点间的球面距离为23，知AOB3，则 AB2.又 OO1 2，则 O1AO1B 2，AO1B 中，有 O1A2O1B2AB2，故AO1B2.答案：2球的表面积和体积都是关于球半径R的函数，因此要注意运用函数与方程的思想方法求球的半径其中球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置球的表面积与体积【思路分析】正三棱柱上、下底面中心连线的中点为球心(2010 年高考课标全国卷改编)设三棱柱的侧棱垂直于底面，
8、所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积及体积为()Aa2，43a3B.73a2，7 2154 a3C.113 a2，11 3354a3 D5a2,125a3例3【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.如图，设 O、O1 分别为下、上底面中心，且球心O2 为 O1O 的中点，又 AD 32 a，AO 33 a，OO2a2，设球的半径为 R，【答案】B【思维总结】此题的关键是找出球心的位置则 R2AO2213a214a2 712a2.S 球4R24 712a273a2.V 球43R343(712a)37 2154 a3.变式训练2 已知过球面上三点A、
9、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，则球的半径等于_，球的表面积等于_解析：如右图，设球的半径为 r，O是ABC 的外心，外接圆半径为 R，则 OO面 ABC.在 RtACD 中，cosA13，则 sinA2 23.在ABC 中，由正弦定理得 6sinA2R，R94 2，即 OC94 2.在 RtOCO中，由题意得 r214r281216，得 r3 62.球的表面积 S4r24964 54.答案：3 62 54多面体的顶点都在球面上，则球称为这个多面体的外接球凸多面体的各个面都和球面相切，则球称为这个多面体的内切球可类比于平面多边形与圆的关系，多面体的性质和球的性质
10、要充分结合来解决问题有关球与多面体的组合体 正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6，内有一个球与它的四个面都相切(如图)求：(1)这个正三棱锥的全面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积例4【思路分析】(1)利用特征三角形求斜高即可；(2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径【解】(1)底面正三角形中心到一边的距离为13 32 2 6 2，则正棱锥侧面的斜高为12 22 3.S 侧3122 6 39 2.S 全S 侧S 底9 212 32(2 6)29 26 3.(2)设正三棱锥 PABC 的内切球球心为 O，连结OP、OA、OB、OC，而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径
11、 r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABC13S 侧r13SABCr13S 全r(3 22 3)r.又 VPABC1312 32(2 6)212 3，(3 22 3)r2 3，得 r2 33 22 32 33 22 31812 62.S 内切球4(62)2(4016 6).V 内切球43(62)383(9 622).【思维总结】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的方法技巧1某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定
12、的半平面与本初子午线(0经线)和地轴确定的半平面所成的二面角的度数，即经度是一个二面角某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数纬度是一个线面角方法感悟2关于球的有关运算(1)球的大圆含有球的计算元素R，故有关球的计算问题，通常先作出球的大圆，然后利用平面几何知识求解(2)计算或证明截面问题时要注意联系球的半径、截面圆的半径及球心到截面的距离三者的关系，重视球的截面(含球的切面)的性质(3)涉及到多面体的内切球的问题，不妨考虑运用公式V多Pr(P为多面体的表面积，r为内切球的半径)，该公式的推导只需将球心与多面体的各顶点相连，将多面体分成以多面体每一个面为底面，球心为顶点的小棱锥(高
13、为r)，于是多面体的体积就等于这些小棱锥的体积之和失误防范1正四面体有以下重要性质：(1)在正方体中，截去 4 个相等三棱锥后，可以得到一个正四面体同样，一个正四面体补上 4 个相等三棱锥后，可以成为一个正方体(2)由(1)可知：正四面体的棱长是相应正方体棱长的2倍，其体积是相应正方体体积的13.(3)正四面体的相对棱互相垂直2球面上 A、B 两点的球面距离是用弧长公式计算的，不同于 A、B 两点的直线距离，此时AOB 不是用角度表示，而是用弧度表示3分清球与其它多面体“切”与“接”的区别如正方体的内切球、外接球，以及和棱相切的球的半径分别为正方体棱长的12、32、22 倍设正面体的棱长为 a
14、，则高 h 63 a，内切球的半径r 612a，外接球的半径 R 64 a.即 hRr，R3r.考向瞭望把脉高考 考情分析从近两年的高考试题来看，考查的内容主要有(1)球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径三者间的关系；(2)球面距离；(3)球的表面积和体积这三者常结合在一起考查，并且又综合球与其它几何体的组合体个别涉及多面体的题目都是可以分割成棱柱、棱锥的多面体，正多面体仅限正四面体、正六面体，属于基础题，难度较小，大多数是以选择题，填空题的形式出现这部分知识并不每年都考在2010年的高考中，大纲全国卷第12题考查了四面体的外接球问题，体现了多面体的割补法，难度稍大；全国卷第16题考查了球
15、的截面问题；四川卷第11题考查了球面距离的求法，难度稍大预测2012年高考仍将以选择题、填空题的形式考查球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径三者间的关系、球面距离、球的表面积和体积，其中球面距离、球的表面积和体积仍将是考查的热点命题探源(2010 年高考辽宁卷)已知 S，A，B，C 是球O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，SAAB1，BC 2，则球 O 的表面积等于()A4 B3C2 D例【解析】如图所示，A、B、C 三点在一小圆面上，ABBC，AC 为斜边，小圆的圆心为 AC 的中点 D.SAAB1，BC 2，AC 3，AD 32.S，A，B，C 都在球面上，取 SC 的中点 O
16、，则ODSA.SA平面 ABC，OD平面 ABC，O 为球心，SO 为半径SC1 322，SO1，球 O 的表面积为 4.【答案】A【名师点评】本题主要考查了球与四面体的组合体的关系及球的性质和球的表面积的计算，此题是教材复习参考题九B组的第7题的改编题，类型完全相同本题的难点还是寻找球心其中发现小圆ABC的圆心为AC的中点D是关键的问题此题构思巧妙，比教材的题目难度加大，很好地考查了球的截面性质名师预测1过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60，则该截面的面积是()A B2C3 D2 3解析：选A.与OA成60的截面的半径等于1，所以该截面
17、的面积等于.2长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125，则x的值为()A5 B6C8 D10解析：选 D.设长方体的对角线长为 l，则 l3242x2.设球的半径为 R，则 4R2125，得2R5 5.由 3242x25 5，解得 x10.3四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上，且 CD2，AB 3，在外接球面上 A、B 两点间的球面距离是()A.6B.3C.23D.56解析：选 C.四面体的外接球的球心 O 是 CD 的中点，半径等于 1.在AOB 中，OAOB1，AB 3，根据余弦定理可得 cosAOB113212，所以AOB23.所以在外接球面上 A、B 两点间的球面距离等于23.4一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为 3，则这个球的体积为_解析：因为底面周长为 3，所以底面边长为12，底面面积为 S3 38.又因为体积为98，所以高为 3.该球的直径为12 322，球的体积 V43R343.答案：43本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
