1、5.5 解斜三角形 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 5.4解斜三角形双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理1正、余弦定理2.已知a，b和A解三角形时，解的情况如下3.三角形面积公式常用的三角形面积公式有：S12aha(ha 表示a 边上的高)S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R.S12r(abc)(r 为内切圆半径)S ppapbpc，其中 p12(abc)4实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)
2、(3)坡度：坡面与水平面的二面角的度数(锐角)1在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的什么条件？“AB”是“cosAcosB”的什么条件？提示：在 ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件，“AB”是“cosAcosB”的充要条件 思考感悟2余弦定理c2a2b22abcosC与勾股定理c2a2b2有什么关系？提示：当C90，即c为RtABC的斜边时，c2a2b22abcosC就是勾股定理，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况 1(教材例 2 改编)在ABC 中，A60，BC4 3，AC4 2，则()AB45或 135 BB135CB45 D以上都不对答案：C 课前热身2在ABC 中
3、，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanB 3ac，则角 B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23答案：D 3已知ABC 中，b2，c 3，三角形面积 S32，则角 A 等于()A30 B60C30或 150 D60或 120答案：D 4在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，则C_.5已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_答案：2答案：3考点探究挑战高考 考点突破 用正余弦定理解三角形在三角形中，用正弦定理、余弦定理建立角边关系或实现边角转化，参考本节教材的例1、2、4、5.例1 在ABC 中，内角 A，
4、B，C 对边的边长分别是 a，b，c，已知 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a、b；(2)若 sinCsin(BA)2sin2A，求ABC 的面积【思路分析】第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a、b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sinCsin(BA)2sin2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a、b的值即可解决问题【解】(1)由余弦定理及已知条件，得 a2b2ab4.又因为ABC 的面积等于 3，所以12absinC 3，得 ab4.联立方程组a2b2ab4ab4，解得a2b2.(2)由 题 意，得 sin(B A)sin(B A)4si
5、nAcosA，即 sinBcosA2sinAcosA.当 cosA0，即 A2时，B6，a4 33，b2 33；当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理，得 b2a.联 立 方 程 组a2b2ab4b2a，解 得 a2 33b4 33.所以ABC 的面积 S12absinC2 33.【名题点评】本题的难点是已知条件与待求问题之间差异较大，化解这个难点的方法就是恰当地利用方程思想，实际上正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组就可以获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题 判定三角形的形状例2用正弦定理或余弦定
6、理把已知条件转化成纯角度关系或纯边的关系，结合特殊三角形的性质判定已知在ABC 中，A，B，C 为三个内角，a，b，c 分别为对应的三条边，3C2且 babsin2CsinAsin2C.判断ABC 的形状【解】b2RsinB，a2RsinA.bab2RsinB2RsinA2RsinBsinBsinAsinB.又 babsin2CsinAsin2C，sin2CsinB.2CB 或 2CB.【思路分析】把a，b化为角的形式，利用角的关系判定 3C2，232C.若 2CB，则 BC32 与 ABC矛盾只有 2CB，B2C，AC.ABC 为等腰三角形【误区警示】对于本题要根据3C2，舍去2CB，否则产
7、生增解互动探究 如果例 2 中的条件改为bcc2cos2A2，该三角形是什么三角形？解：由已知可得 1cosAbcc，cosAbc.由正弦定理，得 cosAsinBsinC，即 cosAsinCsin(AC)，整理得 sinAcosC0.sinA0，cosC0，C2.故ABC 为直角三角形在实际生活中，对于无法测量的角度、距离、高度等问题，用解三角形求得，参考5.11中的例2.用正余弦定理解实际问题某电力部门在 2010 年的南方抗洪救灾的某项工程中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量 A、B 两地的距离现测量人员在相距 3km 的 C、D 两地(假设 A、B、
8、C、D 在同一平面上)测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是 A、B 距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？例3【解】在ACD 中，由已知可得CAD30，所以 AC 3.在BCD 中，由已知可得CBD60，sin75sin(4530)6 24，【思路分析】在BCD中由正弦定理求BC，在ABC中由余弦定理求AB.由正弦定理可得，BC 3sin75sin60 6 22.又 cos75cos(4530)6 24，在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcosBCA(3)2(6 22)22
9、3 6 22cos755，所以 AB 5，故施工单位至少应该准备电线435 km.【思维总结】本题是求距离问题，合理选用三角形是解题的关键 方法技巧1解斜三角形的四种常见类型及一般解法方法感悟2.判断三角形形状的常见题型及解法如下如例(1)在 ABC 中，给 定 三 角 形 的 三 边 a、b、c(ab0 知B2，由已知得 cosB1213，sinADC45，4 分从而 sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB45121335 5133365.6 分由正弦定理得 ADsinBBDsinBAD，所以 AD BDsinBsinBAD33 513336525.10 分【
10、名师点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分清各量的关系，此题一般不失分出错的原因主要是计算问题 此题的设计目的在于提醒学生注重基本知识、基本方法、基本能力的培养 在锐角三角形 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 3a2csinA.(1)求角 C 的大小；(2)若 c 7，且ABC 的面积为3 32，求 ab的值名师预测解：(1)由 3a2csinA 及正弦定理得，ac2sinA3sinAsinC.sinA0，sinC 32.ABC 是锐角三角形，C3.(2)c 7，C3，由面积公式得12absin33 32，即 ab6.由余弦定理得a2b22abcos37，即 a2b2ab7，由变形得(ab)225，故 ab5.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
