1、第五章 一元函数的导数及其应用B卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）A-8B-3C4D62若函数存在零点，则的取值范围为（ ）ABCD3已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD4已知，则，的大小关系是（ ）ABCD5已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）ABCD6定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（ ）ABCD7已知为定义在上的偶函数，是的导函数，若当时，则不等式的解集是
2、（ ）ABCD8已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）A在区间内单调递减B在区间内单调递增C是极小值点D是极大值点10若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（ ）A直线在点处“切过”曲线B直线在点处“切过”曲线C直线在点处“切过”曲线D直线在点处“切过”曲线11已知函数是定义在上的奇函
3、数，当时，则下列结论正确的是（ ）A当时，B函数有五个零点C若关于的方程有解，则实数的取值范围是D对，恒成立12若函数的值域为，则（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若函数在区间(2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_14已知函数，若，则的最小值为_.15定义在上的函数满足：，且当时，则不等式的解集为_16关于函数有如下四个命题：的图象关于原点对称；在，上单调递增；函数共有6个极值点；方程共有6个实根其中所有真命题的序号是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，
4、求的取值范围.18设函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围19已知函数，其中（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围20已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间和极值；（3）当时，讨论函数 的零点个数.21已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）若，且的极大值大于0，求实数的取值范围22已知函数和函数.（1）求函数的极小值；（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由；（3）是否存在正实数使函数的极值为，若存在求出的值，若不存在，说明理由一、
5、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）A-8B-3C4D6【答案】A【解析】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2，设直线与相切于，因为，所以，解得，故直线与相切于，设直线与相切于，因为，则，解得，则，所以直线的方程为，即，在直线上，则，解得.故选：A.2若函数存在零点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】函数存在零点，即有根.因为，所以有根.设，则，即令，则，当时，所以在上单增；当时，所以在上单减；所以当时，y有最小值1.要使有解，只需.故选：B.3已知函数，若不等式对任意恒成立，则实
6、数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，函数，可得，所以函数为偶函数，当时，可得，令，可得，所以函数为单调递增函数，所以，可得，所以在上单调递增，则不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，则对任意恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是故选：D4已知，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】令函数，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为，可得，又因为，则，同理，所以，因为当时，函数单调递减，所以故选：C5已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【
7、解析】由，当时，上式可变形为：，问题转化为：当时，恒成立，设，因为，所以，因此，所以当时，单调递减，当时，单调增，故，要想当时，恒成立，只需，设，当时，所以函数单调递增，而，显然当，成立，故选：B6定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】依题意，方程有且只有两个正根，即有且只有两个正根，方程可以化为：，因此转化为函数与在y轴右侧的图象有两个交点，先研究函数的图象，因为，当时，；当时，且当x=1时，y=0，y=1，在x=1处切线的斜率是1，简图如图所示：直线过点(1，0)斜率为m，由图像有两个交点，可以
8、得到m0且.故选：D7已知为定义在上的偶函数，是的导函数，若当时，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】，在为减函数，而，而在上，所以；在上，所以；由在成立，可知，在上，又函数为偶函数，在上，不等式等价于，.故选：A.8已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：函数在上单调递增，当时，有；当时，恒成立，令，则，即在上单调递增，要使当时恒成立，则，解得.函数在上单调递增，还需要满足，即，综上，的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得
9、0分9如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）A在区间内单调递减B在区间内单调递增C是极小值点D是极大值点【答案】BD【解析】解：函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，函数在区间的导数为，在区间上单调递增，正确；由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，时，当时，为增函数，此时此时函数为减函数，则函数内有极大值，是极大值点；故正确，故选：10若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（ ）A直线在点处“切过”曲线B直线在点处“切过”曲线C直线在点处“切过”曲线D直
10、线在点处“切过”曲线【答案】ACD【解析】A项,因为,当时,所以是曲线在点处的切线.当时,；当时,所以曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；B项,当时,在处的切线为.令,则,当时,；当时,所以.故,即当时,曲线全部位于直线的下侧（除切点外）,结论错误；C项,当时,在处的切线为,由正弦函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；D项,当时,在处的切线为,由正切函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确.故选：ACD.11已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是（ ）A当时，B函数有五个零点C若关于的方程有解，则实数的取值范围是D对，恒成立【答案】AD【解析】设，则，所
11、以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即故A正确当时，所以，令，解得，当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，又，故函数在仅有一个零点当时，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点故B错误作出函数的大致图象，由图可知若关于的方程有解，则实数的取值范围是.故C错误由图可知，对，故D正确故选：AD12若函数的值域为，则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】时，单调递增，A正确；时，单调递减，值域是，B正确；设，则，当时，单调递增，即，又，而在递减，C错；设，则，令，则在时恒
12、成立，在上单调递增，因此时，是减函数，又，即，D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若函数在区间(2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】由题意，函数在区间(2，1)上恰有一个极值点，即在区间(2，1)上恰有一个变号零点令，即在区间(2，1)上有唯一的变号零点根据二次函数根的分布可知：，即此时端点值是否成立不确定.（1）当时，在区间(2，1)上有唯一的变号零点，成立；（2）当时，在区间(2，1)上恒小于0，不成立；综上，实数a的取值范围为故答案为：14已知函数，若，则的最小值为_.【答案】【解析】设，即，解得，所以，令，则，令，解得，当时，
13、当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.15定义在上的函数满足：，且当时，则不等式的解集为_【答案】【解析】因为，所以，令，则，所以为奇函数又因为当时，所以在上单调递减，即在上单调递减而不等式，所以，所以故答案为：16关于函数有如下四个命题：的图象关于原点对称；在，上单调递增；函数共有6个极值点；方程共有6个实根其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】解：对于，的定义域为，故是奇函数，的图象关于原点对称，故正确；对于，故当时，在，上单调递增，故正确；对于，令可得，故在和，上单调递增，在，上单调递减，令可得或，作出的函数图象，由图象可知只有5个极值点，故
14、错误；对于，是奇函数，故是偶函数，的极大值为，有6个根，故正确故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】小问1：由可得的值，进而可得表达式，然后进行检验符合条件即可；小问2：根据题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数解析的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解.（1）因为，所以，由在处取极值，得，求得，当时，；当时，；则在时有极大值，符合题意，所以；（2）当时，即.当时，；当时，等价于，也即.记，则.记，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递
15、增，所以，由洛必达法则有：，即当时，所以，即有，综上所述，当，时，成立18设函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.【解析】（1）由条件得，在点处的切线与垂直，此切线的斜率为0，即，有，得，由得，由得在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值故的单调递减区间为，极小值为2（2）条件等价于对任意恒成立，设则在上单调递减，则在上恒成立，得恒成立，（对仅在时成立），故的取值范围是19已知函数，其中（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的
16、取值范围【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析，的取值范围为【解析】（1）根据题意，函数的定义域为，则有，当时，对于任意，恒成立，令；令；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）若函数在内有极值，则在内有解；令，解之可得，令，则有，当时，恒成立，即得在上单调递减，又因为，所以在的值域为，所以当时，有解，设，则，；所以函数在上单调递减，因为，（1），所以在区间上有唯一解，即得当时，在上单调递减；当，时，在，上单调递增，即得当时，在内有极值且唯一；当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意故的取值范围为20已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在处取得
17、极值，求的单调区间和极值；（3）当时，讨论函数 的零点个数.【答案】（1）（2）在，上单调递增；在上单调递减，；（3）答案见解析【解析】（1）由，求导，进而得到，写出切线方程；（2）求导，根据函数在处取得极值，求得，再利用导数法求解； （3）令，将问题转化为，利用数形结合法求解.（1）解：当时，故所求切线方程为，即；（2）（2）因为，所以，因为函数在处取得极值，所以，即，解得，经检验，当时，为函数的极大值点，符合题意，此时，函数的定义域为，由，解得或；由，解得，所以的增区间是，；减区间是，当时，；当时，；（3）令，由，解得；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，作出函数的图象，如图所
18、示：因为，即，所以，由图象知：当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，当时，当时，有两个零点21已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）若，且的极大值大于0，求实数的取值范围【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】(1)当时，通过的导数，根据的范围讨论单调区间(2)由（1）中讨论结果及，且的极大值大于0，可通过分离参数转化为在上恒成立问题，构造函数令，通过求导（需二次求导）确定单调性确定实数的取值范围.（1）函数的定义域为，当时，当时，在上，在上单调递增当时，令，得，在上，在上，在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（
19、1）知当时，有极大值为，设，即在上恒成立令，则，令，则，令，得，在上，在上，在上单调递减，在上单调递增，的极小值，在上单调递增，的取值范围为22已知函数和函数.（1）求函数的极小值；（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由；（3）是否存在正实数使函数的极值为，若存在求出的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）答案不唯一，理由见解析（3）存在，【解析】(1)求函数的导函数，再求导函数的零点，解析导函数零点两侧的导数取值的正负，由此确定函数的极小值，(2)求函数导函数，通过讨论确定的解的个数及解的大小关系，再判断在解的两侧的正负，由此确定函数的极值点的个数，(3)由(2)可得函数的极值情况，
20、再由函数的极值为，列方程求的值.（1）函数，由得即，得，即函数的单调增区间为由得，即函数的单调递减区间为极小值为；即；（2），当时，又.当时，由(1)得在上单调递增，且，则存在唯一，使，当时，故，当时，故，当时，故，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值当时，由（1）得在上单调递增，且，当时，故，当时，故，此时函数无极值当时，由（1）得在上单调递增，且，则存在唯一，使，当时，故，当时，故，当时，故，故当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值综上：当时，有两个极值点，当时，无极值点（3）由（2）知当时，不存在符合题意的，当时，,所以由 得即把代入得，整理得.记，由知，所以在区间单调递减，又因为所以，此时符合题意.综上可知当时存在极值等于.
