1、13.3 函数的极限与连续 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 13.3 函数的极限与连续双基研习面对高考 双基研习面对高考 1函数的极限2.函数极限的四则运算法则如果 limxx0f(x)a，limxx0g(x)b，那么：(1)limxx0f(x)g(x)_；(2)limxx0f(x)g(x)_；(3)limxx0fxgx_(b0)ababab这些法则对于 x(或 xx0，xx0，x，x)的情况仍成立.limxx0Cf(x)_(C 为常数)；limxx0f(x)n_(nN*)；limxx0 xn_(nN*)；limx1xn_(nN*)Caan0nx03连续函数的定义 函数f(x)在点xx0处
2、连续的定义：如果函数yf(x)在点xx0处及其附近有定义，而且_，就称函数f(x)在点x0处连续.如果函数yf(x)在点xx0右侧(左侧)有定义,而 且 _，那么就说f(x)在点x0处右连续(或左连续)4连续函数的性质性质 1：(最大值、最小值定理)如果 f(x)是闭区间a，b上的连续函数，那么 f(x)在闭区间a，b上有_性质 2：如果函数 f(x)、g(x)在某一点 xx0 处连续，那么函数 f(x)g(x)，f(x)g(x)，fxgx(g(x)0)在 xx0 处都连续最大值和最小值思考感悟1如果函数在xx0处存在极限，函数在这一点处一定有定义吗？试举例说明 提示：不一定如 f(x)x2x
3、，limx0f(x)limx0f(x)0，limx0f(x)0，但是 f(x)在 x0 处无定义2函数f(x)在x0处连续是函数f(x)在xx0处存在极限的什么条件？提示：充分不必要条件根据连续性的概念，函数在 xx0 处连续，limxx0f(x)一定存在且 limxx0f(x)f(x0)，但是 limxx0f(x)存在，函数在 xx0 处不一定连续 课前热身 1(教材例 2 改编)当 x2时，函数 y6 的极限为()A.2 B6C不存在D.2或 6答案：B2下列结论中：(1)若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限；(2)若f(x)在xx0点有极限，则f(x)在xx0点必连续；(
4、3)若f(x)在xx0点无极限，则f(x)在x0点一定不连续；(4)若f(x)在x0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限 其中正确的有()A1个B2个 C3个D4个 答案：B 3.limx1x21x1 的值为()A0 B1C2 D不存在答案：C4如果函数 f(x)x1 x1且limx1f(x)存在，则 a 的值为_5如果函数 f(x)x21x1 x1ax1在 x1处连续，则 a 的值为_答案：1 答案：2考点探究挑战高考 x的函数的极限 考点突破 x，x，x时函数极限判断或者求x时函数极限必须在条件：limxf(x)limxf(x)下才成立与数列 n时的极限区分开例1 求下列各极限的值(1
5、)limxx(x21x21)；(2)limx5x45x13xx4.【思路分析】(1)分子有理化；(2)分子分母同除以x4.【解】(1)原式 limx2xx21x21 limx21 1x21 1x21.(2)limx5x45x13xx4limx5 5x31x4 3x315.【思维总结】在(1)中将分子、分母同除以x,并把x放入根号里面时，注意x的正负，即x还是x.互动探究 1 limxx(x21x21)_.解析：原式 limx2xx21x21 limx21 1x21 1x21.答案：1xx0的函数的极限 首先确定 x0 是否在定义域内，若 x0 使函数有意义，则 f(x0)就是其极限，否则从 x
6、0的左右两侧 limxx0f(x)，limxx0f(x)来考虑一般地把 f(x)中含有(xx0)因式约掉，再求 xx0 的极限求下列各极限的值(1)limx2x21x2x2；(2)limx2cosxcosx2sinx2；(3)limx1(x23x21 1x1)；(4)limx0 x|x|.例2【思路分析】【解】(1)limx2x21x2x2 221222234.(2)原式 limx2cos2x2sin2x2cosx2sinx2 limx2(cosx2sinx2)2.(3)limx1(x23x21 1x1)limx1x2x2x21limx1x1x2x1x1limx1x2x1121132.(4)因
7、为 limx0 x|x|1，而limx0 x|x|1，故limx0 x|x|limx0 x|x|.所以limx0 x|x|不存在【误区警示】对于(4)化简 x|x|时，不讨论 x 的正负而得出：x|x|x 的错误结果互动探究 2 在例中把(4)改为limx0 x2|x|，极限存在吗?解：limx0 x2|x|limx0|x|2|x|limx0|x|0.极限存在函数连续性的判断 这类题型主要是依据函数连续性的定义判断函数在某点或者在某个区间上的连续性，有时也需要结合函数的图象加强对函数连续性的直观判断设 f(x)xa x0，x21 01，问 a，b 为何值时，f(x)在定义区间内连续？例3【思路
8、分析】求区间界点左、右极限左、右极限值相等时连续确定a、b值【解】limx0f(x)limx0(xa)af(0)limx0f(x)limx0(x21)1，a1 时，f(x)在 x0 处连续limx1f(x)limx1(x21)2f(1)limx1f(x)limx1bxb.b2时，函数f(x)在x1处连续，而初等函数在其定义域内均为连续函数，当a1，b2时，f(x)在(，)内连续【思维总结】判断函数在某点的连续性，要结合三点：(1)函数在该点有定义；(2)在该点处存在极限；(3)在该点处的极限值等于该点的函数值任何一条不满足，函数在该点就不连续方法技巧方法感悟 1“”型的极限若分子、分母是关于
9、x 的多项式，一般是分子、分母同除以分母的最高次幂，应用limx1xk0 这一公式求解如例 1(2)若分子、分母是关于 x 的根式函数，则分子、分母同除以 x 的最高次幂，但要注意变量变化趋势对偶次方根正、负值的影响如例 1(1)及互动探究若分子、分母是关于 x 的指数型函数，则将分子、分母同除以底数绝对值较大的幂2“”型的极限将其看作分母为 1 的分式，转化求极限例 1(1)3对于连续函数 f(x)，求 limxx0f(x)一般采取直接代入法，即 limxx0f(x)f(x0)4对于“00”型的极限，一般对分子、分母进行因式分解，找出公共的零因子，并约去，使化简后的式子的分母的极限存在且不为
10、零，从而求出极限值5探究函数的连续性的关键是看分段函数在“接点”处是否连续失误防范1在数列极限limnan 中“n”是指“n且nN*”，这一点与函数极限中“x”是不同的，函数极限中“x”包含“x”和“x”两个方面如例 1.2.limxx0f(x)a，limxx0g(x)b 是 limxx0f(x)g(x)ab，limxx0f(x)g(x)ab，limxx0fxgxab(b0)成立的充分不必要条件考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的高考试题来看，高考主要以选择题、填空题的形式考查函数极限的四则运算以及函数连续性的概念，题目难度不大，以中低档为主主要以“00”型和“”型函数极限为主，或者利用函数
11、连续待定字母参数在2010年的高考中，重庆第3题考查了xx0的极值计算，四川第2题从函数图象直观考查了连续性判断 预测2012年高考仍会以选择题或填空题的形式进行考查，考查的热点是求函数极限、已知函数极限求参数的值、函数的连续性问题.(2010年高考四川卷)下列四个图象所表示的函数，在点x0处连续的是()规范解答 例【解析】选D.对选项A、B、C中都有x0，不符合连续的定义，故选D.【答案】D【名师点评】中学中的函数的极限与连续是与高等数学相衔接的一部分，故成为了高考的一个热点，此题非常简单，即使不理解“连续”的含义，也能从图象上直观地得出正确答案这符合中学的教学要求这在教材中很多地方都可找到
12、原型，如本节教材的练习题1和2，习题2、5中第1题，复习参考题的第13题都有类似的图象名师预测 1.limx2x2x26x8的值为()A0 B1C12D.13解析：选 C.limx2x2x26x8limx2x2x2x4limx21x412，故选 C.2.limx1x32x1()A.12B0C12D不存在解析：选 A.limx1x32x1limx1x32x32 x1 x1 x1x32limx1x1 x1x1x32limx1x1x32111322412.3f(x)x23xxx0kx0在点 x0 处连续，则常数 k_.解析：由条件可知 klimx0 x23xxlimx0(x3)3.答案：34已知limxmxx1x2xm2，则实数 m 的值为_解析：由题意可知：xm是x(x1)(x2)中的一个因式故此m0,1,2，逐一检验可知：m1不符合题意，故此实数m的值为0或2.答案：0或2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
