1、第14讲 导数的应用 第14讲 导数的应用 知识梳理 1函数的单调性若函数f(x)在某区间内可导，则f(x)0f(x)在该区间上_；f(x)0 f(x)0 f(x)0 第14讲 知识梳理 3函数的最值(1)函数f(x)在a，b上必有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象_，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的_；将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4f(x)m恒成立等价于_；f(x)m恒成立等价于_5函数f(x)ax3bx2cxd(a0)有极大值为f(x1)，极小值为f(
2、x2)，若函数有三个零点，则_；函数有两个零点，则_；函数有且仅有一个零点，则_是一条连续不断的曲线极值端点处的函数值f(a)、f(b)mf(x)maxf(x1)0且f(x2)0f(x1)0或f(x2)0f(x1)0要点探究 探究点1 利用导数研究函数的单调性第14讲 要点探究 例1 2010北京卷 已知函数f(x)ln(1x)xk2x2(k0)(1)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间.解答(1)当k2时，f(x)ln(1x)xx2，f(x)11x12x.由于f(1)ln2，f(1)32，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln
3、232(x1)即3x2y2ln230.第14讲 要点探究(2)f(x)xkxk11x，x(1，)当 k0 时，f(x)x1x.所以，在区间(1,0)上，f(x)0；在区间(0，)上，f(x)0.故 f(x)的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0，)当 0k0.所以，在区间(1,0)和1kk，上，f(x)0；在区间0，1kk上，f(x)1 时，f(x)xkxk11x0，得 x11kk(1,0)，x20.所以，在区间1，1kk和(0，)上，f(x)0；在区间1kk，0 上，f(x)0求单调递增区间；(2)转化为f(x)0在R上恒成立问题，求a；(3)假设存在a，则f(0)是f(x)的极小值
4、，或转化为恒成立问题第14讲 要点探究 解答(1)f(x)exa.若a0，f(x)exa0恒成立，即f(x)在R上递增若a0，exa0，exa，xlna，f(x)的递增区间为(lna，)(2)f(x)在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立exa0，即aex在R上恒成立a(ex)min，又ex0，a0.(3)方法一：由题意知exa0在(，0上恒成立aex在(，0上恒成立ex在(，0上为增函数，x0时，ex最大为1.a1，同理可知exa0在0，)上恒成立，aex在0，)上恒成立，a1.综上所述，a1.方法二：由题意知，x0为f(x)的极小值点f(0)0，即e0a0，a1，经检验a1符合题意第14讲
5、 要点探究 点评 已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题，常转化为其导函数f(x)在该区间内大于等于0(单调增函数)或小于等于0(单调减函数)恒成立问题有时问题也可以借助集合的思想解决 探究点2 利用导数研究函数的极值与最值第14讲 要点探究 例2 已知aR，讨论函数f(x)ex(x2axa1)的极值点的个数解答 f(x)ex(x2axa1)ex(2xa)exx2(a2)x(2a1)，令f(x)0得x2(a2)x(2a1)0.(1)当(a2)24(2a1)a24aa(a4)0，即a4时x2(a2)x(2a1)0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1x2.于是f(x)ex(xx1)(xx2)，
6、从而有下表：第14讲 要点探究 即此时f(x)有两个极值点(2)当0即a0或a4时，方程x2(a2)x(2a1)0有两个相同的实根x1x2.于是f(x)ex(xx1)2.故当x0，当xx2时f(x)0，因此f(x)无极值(3)当0即0a0，f(x)exx2(a2)x(2a1)0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值因此当a4或a0时，列表如下：第14讲 要点探究 由上表可知，当x0时，f(x)取得极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)3，即b3.又f(1)7a3，f(2)16a3，f(2)f(1)，x2时函数在1,2上取得最小值，f(2)16a329，a2.当af(1)，x2时函数在
7、1,2上取得最大值，f(2)16a293，a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.第14讲 要点探究 2010宝鸡模拟 已知函数f(x)axlnx在点(e，f(e)处的切线与直线y2x平行(其中e2.71828)，g(x)x2tx2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在n，n2(n0)上的最小值；(3)对一切x(0，e，3f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围第14讲 要点探究 解答(1)由点(e，f(e)处的切线与直线 2xy0 平行，得该切线斜率为 2，即 f(e)2.又f(x)a(lnx1)，令 a(lne1)2，即 a1，f(x)xlnx.(2)由(1)知 f(x
8、)lnx1，显然 f(x)0 时 xe1.当 x0，1e 时 f(x)0，函数 f(x)在1e，上单调递增1en，n2时，f(x)minf1e 1e；1enn2 时，函数 f(x)在n，n2上单调递增，f(x)minf(n)nlnn.f(x)min1e0n0，h(x)单调递增；x(1,2)，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)极大值h(1)1，且 h(e)e32e11，即 a32.f(2)84a(1a)3a752.故 f(2)的取值范围为52，.第14讲 要点探究(3)由(2)知，f(x)x3ax21a，且 a32.要讨论直线 yx1 与函数 yf(x)图像的交点个数的情况，即求方程组yx1
9、，yx3ax21a 的解的个数的情况由x3ax21ax1，得(x31)a(x21)(x1)0，即(x1)(x2x1)a(x1)(x1)(x1)0，(x1)x2(1a)x(2a)0.x1 或 x2(1a)x(2a)0.由方程 x2(1a)x(2a)0，(*)得(1a)24(2a)a22a7.第14讲 要点探究 a32，若 0，即 a22a70，解得32a0，即 a22a70，解得 a2 21.此时方程(*)有两个实数解，分别为x1a1 a22a72，x2a1 a22a72.且当 a2 时，方程(*)有两个实数解 x10，x21.综上所述，当32a2 21 且 a2 时，直线 yx1与函数 yf(
10、x)的图像有三个交点第14讲 要点探究 例5 已知函数f(x)x3ax，g(x)12x2lnx52.(1)若g(x)与f(x)在同一点处有相同的极值，求实数a的值；(2)对一切x(0，)，有不等式f(x)2xg(x)x25x3恒成立，求实数a的取值范围；(3)记G(x)12x252g(x)，求证：G(x)1ex 2ex(e是自然对数的底数)解答(1)由题知，g(x)x1x，令g(x)0得x1(x0)，当0 x1时，g(x)1时，g(x)0，故当x1时，g(x)有极小值为g(1)2，f(1)2，且f(1)0，a3.(2)原不等式可化为x3ax2x 12x2lnx52 x25x3，化简得ax2xl
11、nxx23.因为x(0，)，故上式可化为a2lnx3xx，则可知a2lnx3xx恒成立，即a2lnx3xx min，记t(x)2lnx3xx(x0)，t(x)2lnx3xx 2x 3x21x22x3x2，令t(x)0，得x22x3x20，解得x1，在(0,1)上，t(x)0，故当x1时，t(x)有极小值为4，故a(，4第14讲 要点探究(3)证明：由题知，G(x)lnx，原不等式可化为lnx 1ex 2ex，即证xlnx xex2e成立，记F(x)xlnx，F(x)lnx1，由F(x)0得x1e，因此函数F(x)在0，1e 上为减函数，在1e，1 上为增函数，其最小值为F1e 1e，即F(x)
12、1e.记H(x)xex2e，则H(x)exxexe2x，令H(x)0，得x1，因此H(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数，H(x)maxH(1)1e 2e 1e，因为F(x)minH(x)max，所以当x(0，)时，F(x)H(x)，故原不等式成立点评 利用导数证明不等式的关键是构建适当的辅助函数，即设法利用导数方法来研究函数的单调性，需要把要证的不等式等价转化为同一函数的不同函数值的形式 探究点4 生活中的优化问题第14讲 要点探究 例62010合肥模拟某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补
13、贴分别为 110p，mln(q1)(m0)万元已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放市场，且A、B两型号的电视机投放金额都不低于1万元(精确到0.1，参考数据：ln41.4)(1)当m 25 时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；(2)讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况第14讲 要点探究 解答 设投放 B 型号电视机的价值为 x 万元(1x9)，农民得到的补贴为 y 万元，则投放 A 型号电视机的价值为(10 x)万元，由题意得y 110(10 x)mln(x1)mln(x1)110 x1.(1)当 m25时，y
14、25ln(x1)110 x1，y25x1 110，由 y0，得 x3，当 x(1,3)时，y0；当 x(3,9)时，y0.所以 x3 时，y 取得最大值，ymax25ln40.311.3.即厂家分别投放 A，B 两型号电视机 7 万元和 3 万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约 1.3 万元第14讲 要点探究(2)y mx1 110，由 y0，得 x10m1.当 10m11，即 0m0.2 时，y0，y 在1,9上是减函数，随 B 型电视机投放金额 x 万元的增加，农民得到的补贴逐渐减少当 110m19，即 0.2m0，在区间(10m1,9上，y0(或f0)，则函数f在相应区间上是增加(或减
15、少)的3根据极值的定义，导数为0且在该点两侧导数的符号相反，则该点是函数的极值点利用导数求函数的极值时，通过导数为零的点将整个定义域分为若干个区间，然后将x，f(x)，f在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值，所以在解题中注意表格的正确列法第14讲 规律总结 4根据最值的定义可知：函数的最值只可能在极值点取得，或者在区间的端点处取得因此，求函数在闭区间内的最值时，只需要比较导数为0的点的函数值与端点值的大小，其中最大的值即为函数的最大值，最小的值即为函数的最小值第14讲 规律总结 5导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法，利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，并根据实际问题中的限制条件确定yf(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，得出方程所有实数根；(3)比较函数在各个区间端点和在极值点的取值大小，确定其为最大值还是最小值；(4)检验结果的实际意义，给出答案
