1、第3章 含有内角的三角形含有内角的三角形也是一类特殊的基本图形，它出现在等腰直角三角形中，出现在正方形图形中，出现在直角三角形等图形中它也有一系列有趣的性质及广泛的应用性质 含有内角的三角形中，其外心与角所对的边的两端点构成直角三角形的顶点，且外心为直角顶点性质 含有内角的三角形中，其垂心与角的顶点的距离等于角所对的边长证明 如图，点为的垂心，设、分别是边、上的高，、分别为垂足，则为等腰直角三角形，于是有又，则有故性质 在锐角中，于，则可内接于一个以为一个顶点，边长等于的正方形证明 如图，分别以、为对称轴，作的对称图形、，则，此时，延长、交于点，则为矩形又，故为正方形，且内接于此正方形性质 在
2、锐角中，于，则可内接于以为直角顶点，为斜边上的高的直角三角形证明 如图，分别以、为角平分线作，作，与两端的延长线分别交于，则，且，故为直角三角形，且内接于此直角三角形性质 在锐角中，于，则证明 如图，设，则，于是，由此即证性质 在锐角中，作于，作于，则平分的面积，即证明 如图，由，则，从而，且与所成的锐角为于是即知线段平分的面积性质 在锐角中，作于，作于，设为的外心，则的充要条件是为的垂心证明 如图，设与交于点，则为的垂心联结，则、四点共圆，且由三角形垂心与外心的性质，知于是，而，从而与互余，故、四点共圆注意由有，此时有，其中注意到为的垂心下面，我们从四个方面介绍有关问题的求解例子，从这些例子
3、中可看到这类问题的求解方法1在等腰直角三角形中例 设为等腰直角三角形斜边上任一点，垂直于点，垂直于点，垂直于点，延长并在其延长线上取一点，使得试证：，且证明 如图，由题设，有从而又，公共，则，有注意到，则故例 如图，在等腰直角中，点为腰的中点，点在底边上，且求的面积解 过点作与的延长线交于点因，则，于是从而，且又，则是的平分线，从而点到和的距离相等于是故此即为所求2在正方形中例 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，满足，、分别与对角线交于点，求证：（1）；（2）证明 （1）延长至点，使，联结，则，从而，且，于是在和中，则，于是（2）在上取一点，使得，联结，则，于是有，亦即有，亦即有，故注：由
4、此例，在图中，有，亦有例 如图，正方形的边长为点、分别在、上，使得的周长为求：（1）的大小；（2）面积的最小值解 （1）延长至，使，则从而，又，及公用，所以，故（2）设，则于是，即因，考虑其判别式，即又，则，当且仅当时等号成立由于，故面积的最小值为注：由此例，在图中，有的周长等于正方形周长的一半例 如图，、三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，在村的正北方向有一个村，测得今将区域规划为开发区，除其中的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？解 问题显然就是求的长注意到是含有的锐角三角形，可分别以、为对称轴作的对称线段得正方形，如图设，则，由勾股定理，得解得或，其
5、中不合题意舍去故由此可得面积例 如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点若矩形的面积恰是矩形面积的倍，试确定的大小并证明你的结论解 猜测证明如下：设，则联立方程得，亦即，从而，亦即，于是延长至，使，联结，由，有，从而再由（边，边，边），知故注：由此例，在图中，有3在直角三角形中例 已知中，是斜边上的高，、分别是、的角平分线的交点求证：（1）；（2）证明 （1）如图，由题设、都在的平分线上，设该平分线交于由于，则，从而，于是故或者由、都在的平分线上，设该平分线交于，联结，则，从而，故（2）由于点、分别在和的平分线，从而由（1）知，有同理，设直线交于，则，有又，则，从而注：由
6、此例，在图中，有，即为的垂心例 如图，设、是的斜边上两点，满足，在、上分别取点，使且等于边上的高又、分别是线段、上的点，则的外心为的垂心的充要条件是、四点共线证明 作于，则，且由，有，从而，即平分同理，平分故知此时，还有充分性：当、四点共线时，由，知于是，即知平分，从而为的内心又为的外心，即在的中垂线上，则在等腰中，、三点共线，即同理，故为的垂心必要性：当的外心为的垂心时，联结，则为的中垂线于是而，则联结同理于是，、四点共圆，即有又在的中垂线上，有，且，推知注意到，从而、四点共圆，有联结，由及平分，知，有又由，有，从而，即有于是，即知、三点共线同理、三点共线故、四点共线4在其他图形中例 （20
7、08年陕西省竞赛题）如图，是半圆的直径，是的中点，是弦的中点，垂足为求证：证明 联结、，则从而、四点共圆故又因为，且为的中点，所以，即于是，即有，从而，可知，即亦即又因为，故例 （2004年第7届香港地区数学奥林匹克）在中，、分别是边、上的点，且使得，过点作边的垂线与交于点，过点作边的垂线与交于点设是上的点，且使得证明：、三线共点，且证明 如图，设、的延长线交于点下面证明直线和重合注意到，则、四点共圆于是又，从而、四点共圆于是，所以因此，、重合且、三线共点由，即知、四点共圆从而因为、四点共圆，所以因此，即例 （中等数学2001（2）数学奥林匹克问题高98）如图，和是的切线，、是切点，是劣弧上异
8、于、的点，过点平行于的直线分别交直线、于点和若，求证：证明 连接，设，由、是的两条切线，知，且因，则，从而又，则，有，即有，从而当时，有，从而又故练习三1在梯形中，（），若，则的长度为_2在梯形中，是上一点，则的值等于_3已知中，边上的高为，边上的高为，且有，求的三个内角的度数4从正方形的顶点引两射线，使其夹角为，分别与、交于、，与交于，求证：5设为正方形，在上，在上，且求证：6在正方形的边、上各有一点、，满足求证：7（2007年爱沙尼亚国家队选拔考试）在正方形中，、分别是边、上的点设与交于点，为上一点，且满足求8（2007年克罗地亚国家集训考试题）已知在以为直径、为圆心的半圆上有两点、，满足点在弧上且，点、分别为直线与、与的交点证明：9（中学教学2003（12）数学问题601号）中，、是上的点，过、的圆交于，交于求证：成立的充要条件是
