1、不等式专题一、知识回顾不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型,是解决许多实际问题的重要工具,在高考中属主体内容.以考查不等式的解法和最值方面的应用为重点,多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查,在考试说明中考查要求也比较高内 容要 求ABC不 等 式基本不等式一元二次不等式线性规划因此,在复习中应注意:1解某些不等式要与函数的定义域、值域、单调性联系起来,含参数的不等式可分类讨论2利用基本不等式时要注意不等式运用的条件3要强化不等式的应用意识,同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系,充分利用函数方程思想、数形结合的思想处理问题4利用线性规划解决问题时应力求画图准确二、
2、例题精讲例1设若是与的等比中项,则的最小值为_.解析: 因为,所以,当且仅当即时“=”成立,故最小值为.练习1.若直线经过圆的圆心,则的最小值为_.例2已知关于的不等式的解集为,则的解集为_.解析:由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,即,其解集为.练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集.例3已知且,则的取值范围为_.解析:设,,解得, 即.错解:解此题常见错误是:1a+b3,2ab4.+得12a7.由得4ba2.+得52b1,3b.+得2a+3b.另:本题也可用线性规划来解.练习3. 函数满足:,求的取值范围为_例4某种饮料分两次提价,提价方案有三种,方案甲是:第一次提
3、价,第二次提价 ;方案乙是:第一次提价,第二次提价;方案丙是:每次提价 .如果,那么提价最多的是方案 解析:设原价为1,两次提价后的价格为 则: 易证:,方案丙提价最多.练习4.(1)甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食(设两次单价不同),甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是_. (2)克盐水中,有克盐(),若再添加克盐()则盐水就变咸了,试根据这一事实提炼一个不等式 _.例5(1)设为正实数,满足,则的最小值是_. (2)如果正数满足,那么的取值范围是_.解析:(1) ,即的最小值为.(2)由题设,.
4、又,.或解: 练习5.(1) 已知(为常数),若 的最小值为,求的值 (2)若, 且, , 则的最大值是_.例6解关于的不等式:解析:当当当当当当练习6. 解关于的一元二次不等式.例7已知函数,(1)当时,求函数的最小值;(2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围.解析:(1)当时,.(2)由题意,时,恒成立,即恒成立,即恒成立,若,若,则恒成立,故,而,当且仅当时取等号,故,所以,练习7. 三个同学对问题“关于的不等式在 上恒成立,求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值”丙说:“把
5、不等式两边看成关于的函数,作出函数图像”参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即的取值范围是 例8数列由下列条件确定:,当时,求证:(1);(2)解析:(1)由,知,当时, (2), ,所以,当时,练习8.已知数列为等比数列,设是数列的前项和,证明:.例9已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且,若设,求实数的取值范围解析:,又处取得极大值,在处取得极小值故在有,在上有方程即的两根分布在内又,由线性规划知识易知,当过两点时取得最大和最小值,的范围为.练习9. 已知关于的不等式的解集中的一个元素是,求实数的取值范围,并用表示该不等式的解集.例10已知二次函数满足,(1) 求二次函
6、数的表达式;(2) 若不等式在上恒成立,求实数的取值范围。解析 (1)设.由得,故. 即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是.练习10. 对于总有成立,求的值.练习题及答案练习1.若直线经过圆的圆心,则的最小值为_.解析: 由,得,圆心为 又直线过圆心,得,当且仅当,即,时“=”成立,故最小值为.练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集.解析:由题设,原不等式与同解,即与不等式同解,比较系数得,且,所以,代入,得,即又,所以不等式解集为练习3. 函数满足:,求的取值范围为_解析:由得 则由条件可得,所以的取值范围是
7、练习4.(1)甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食(设两次单价不同),甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是_. (2)克盐水中,有克盐(),若再添加克盐()则盐水就变咸了,试根据这一事实提炼一个不等式 _.解析:(1)设两次单价分别为元/kg,则甲两次购粮200kg,共花费元,两次购粮平均单价为,乙两次花费200元,共购粮kg,两次购粮平均单价为,、,而,所以,即甲的购粮方式更合算. (2)由盐的浓度变大,得.练习5. (1)已知(为常数),若 的最小值为,求的值 (2)若, 且, , 则的最大值是_.
8、解析:(1)为正数,或 (2) ,即的最大值为.或解:设则,最大值为。本题也可用柯西不等式来求.易见错误:,相加,得,原因是等号取不到.练习6. 解关于的一元二次不等式解析:,(1)当,不等式解集为; (2)当时,不等式为,解集为;(3)当,不等式解集为练习7. 三个同学对问题“关于的不等式在 上恒成立,求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值”丙说:“把不等式两边看成关于的函数,作出函数图像”参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即的取值范围是 解析: 由,而,等号当且仅当时成立;且,等号当且仅当时成立;所以,等号当且仅当时成立;故.练习8.已知数列为等比数列,设是数列的前项和,证明:.解析::设等比数列的公比为,则数列的通项公式为,得,即.本题用分析法证明也很方便练习9.已知关于的不等式的解集中的一个元素是,求实数的取值范围,并用表示该不等式的解集.解析:原不等式即,由适合不等式,得,所以,或.当时,不等式解集为当时,不等式解集为练习10. 对于总有成立,求的值.解析:要使恒成立,只要在上恒成立.当时,所以,不符合题意,舍去。当时,即单调递减,舍去.当时 若时在和 上单调递增,在上单调递减。所以 当时在上单调递减,不符合题意,舍去.综上可知.