1、不等式专题一、知识回顾不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，是解决许多实际问题的重要工具，在高考中属主体内容.以考查不等式的解法和最值方面的应用为重点，多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查，在考试说明中考查要求也比较高内 容要 求ABC不 等 式基本不等式一元二次不等式线性规划因此，在复习中应注意：1解某些不等式要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，含参数的不等式可分类讨论2利用基本不等式时要注意不等式运用的条件3要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合的思想处理问题4利用线性规划解决问题时应力求画图准确二、
2、例题精讲例1设若是与的等比中项，则的最小值为_.解析: 因为，所以，当且仅当即时“=”成立,故最小值为.练习1.若直线经过圆的圆心,则的最小值为_.例2已知关于的不等式的解集为,则的解集为_.解析：由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,即,其解集为.练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集.例3已知且，则的取值范围为_.解析：设，,解得， 即.错解：解此题常见错误是：1a+b3，2ab4.+得12a7.由得4ba2.+得52b1，3b.+得2a+3b.另:本题也可用线性规划来解.练习3. 函数满足：，求的取值范围为_例4某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲是：第一次提
3、价，第二次提价 ；方案乙是：第一次提价，第二次提价；方案丙是：每次提价 .如果,那么提价最多的是方案 解析：设原价为1，两次提价后的价格为 则： 易证：，方案丙提价最多.练习4.（1）甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食（设两次单价不同），甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是_. （2）克盐水中，有克盐（），若再添加克盐（）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 _.例5（1）设为正实数，满足，则的最小值是_. （2）如果正数满足，那么的取值范围是_.解析：（1） ,即的最小值为.（2）由题设，.
4、又，.或解: 练习5.（1） 已知（为常数），若 的最小值为，求的值 （2）若, 且, , 则的最大值是_.例6解关于的不等式：解析：当当当当当当练习6. 解关于的一元二次不等式.例7已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）当时，.（2）由题意，时，恒成立，即恒成立，即恒成立，若，若，则恒成立，故，而，当且仅当时取等号，故，所以，练习7. 三个同学对问题“关于的不等式在 上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把
5、不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 例8数列由下列条件确定：,当时，求证：（1）；（2）解析：（1）由，知，当时， （2）， ，所以，当时，练习8.已知数列为等比数列，设是数列的前项和，证明：.例9已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，若设，求实数的取值范围解析：,又处取得极大值，在处取得极小值故在有，在上有方程即的两根分布在内又，由线性规划知识易知，当过两点时取得最大和最小值，的范围为.练习9. 已知关于的不等式的解集中的一个元素是，求实数的取值范围，并用表示该不等式的解集.例10已知二次函数满足，（1） 求二次函
6、数的表达式；（2） 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。解析 (1)设.由得,故. 即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是.练习10. 对于总有成立，求的值.练习题及答案练习1.若直线经过圆的圆心,则的最小值为_.解析: 由,得,圆心为 又直线过圆心,得,当且仅当,即，时“=”成立，故最小值为.练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集.解析:由题设,原不等式与同解,即与不等式同解,比较系数得,且,所以,代入,得,即又,所以不等式解集为练习3. 函数满足：，求的取值范围为_解析：由得 则由条件可得,所以的取值范围是
7、练习4.（1）甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食（设两次单价不同），甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是_. （2）克盐水中，有克盐（），若再添加克盐（）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 _.解析：（1）设两次单价分别为元/kg,则甲两次购粮200kg，共花费元，两次购粮平均单价为，乙两次花费200元，共购粮kg，两次购粮平均单价为，、，而，所以，即甲的购粮方式更合算. （2）由盐的浓度变大,得.练习5. （1）已知（为常数），若 的最小值为，求的值 （2）若, 且, , 则的最大值是_.
8、解析：(1)为正数，或 （2） ，即的最大值为.或解：设则，最大值为。本题也可用柯西不等式来求.易见错误:,相加,得,原因是等号取不到.练习6. 解关于的一元二次不等式解析：，（1）当，不等式解集为； （2）当时，不等式为，解集为；（3）当，不等式解集为练习7. 三个同学对问题“关于的不等式在 上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 解析: 由，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故.练习8.已知数列为等比数列，设是数列的前项和，证明：.解析：:设等比数列的公比为,则数列的通项公式为,得,即.本题用分析法证明也很方便练习9.已知关于的不等式的解集中的一个元素是，求实数的取值范围，并用表示该不等式的解集.解析：原不等式即，由适合不等式，得，所以，或.当时，不等式解集为当时，不等式解集为练习10. 对于总有成立，求的值.解析:要使恒成立，只要在上恒成立.当时，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减，舍去.当时 若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以 当时在上单调递减，不符合题意，舍去.综上可知.