1、1.2 余弦定理(一)学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式，会利用向量的数量积证明余弦定量.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一 余弦定理及其证明1余弦定理的表示及其推论文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C推论cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab2.余弦定理的证明(1)课本上采用的证明方法：如图所示，根据向量的数量积，可以得到a2BCBC(ACAB)(ACAB)AC 22AC
2、ABAB 2AC 22ACABAB 2AC 22|AC|AB|cos AAB 2b22bccos Ac2，即 a2b2c22abccos A.(2)利用坐标法证明如图，建立直角坐标系，则 A(0,0)，B(ccos_A，csin_A)，C(b,0)(写出三点的坐标)aBC ccos Ab2csin A02 c22bccos Ab2，a2b2c22bccos A.思考 1 在ABC 中，若 a2b2bcc2，则 A_.答案 23解析 由题意知，cos Ab2c2a22bc bc2bc12，又 A(0，)，A23.思考 2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系
3、，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例知识点二 用余弦定理解三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类问题：(1)已知两边及夹角解三角形；(2)已知三边解三角形思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？答案 不妨设已知 a、b、A，方法一 由正弦定理 asin A bsin B可求得 sin B，进而得 B，角 C，最后得边 c.方法二 由余弦定理 a2b2c22bccos A 得边 c，而后由余弦或正弦定理求得 B、C.题型一 已知两边及夹角解三角形例 1 在ABC 中，已知 a2，b2 2，C15，求角 A
4、，B 和边 c 的值(cos 15 6 24，sin 15 6 24)解 由余弦定理知 c2a2b22abcos C48222 2 6 2484 3，c84 3 6 22 6 2.由正弦定理得 sin Aasin Ccasin 15c2 6 246 2 12，ba，BA，A30，B180AC135，c 6 2，A30，B135.反思与感悟 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解(2)用正弦定理求解时，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这
5、些问题(因为在(0，)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好跟踪训练 1 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a3，b2，cos(AB)13，则 c 等于()A4B.15C3D.17答案 D解析 由三角形内角和定理可知 cos Ccos(AB)13，又由余弦定理得 c2a2b22abcos C94232(13)17，所以 c 17.题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形例 2 在ABC 中，已知 a2 6，b62 3，c4 3，求 A、B、C.解 根据余弦定理，cos Ab2c2a22bc62 324 322 62262 34 3 32.A(0，)，A6，
6、cos Ca2b2c22ab2 6262 324 3222 662 3 22，C(0，)，C4.BAC64 712，A6，B 712，C4.反思与感悟 已知三边(或三边的关系)解三角形的方法及注意事项(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为 0，角为直角；值为负，角为钝角(2)方法 1：两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值，确定两个角，并确定第三个角方法 2：由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为 180确定第三个角的大小(3)若已知三角形三边的比例关系
7、，常根据比例的性质引入 k，从而转化为已知三边求解跟踪训练 2 将例 2 中的条件改为“abc2 6(62 3)4 3”，求 A、B、C.解 abc2 6(62 3)4 3，即 a2 6b62 3 c4 3，不妨设 a2 6k，则 a2 6k，b(62 3)k，c4 3k，下同例题解法题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例 3 在ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2 3，b 6，A45，求边 c.解 方法一 在ABC 中，根据余弦定理可得a2b2c22bccos A，即 c22 3c60，所以 c 33.又 c0，所以 c 33.方法二 在ABC 中，由正弦
8、定理得sin Bbsin Aa6 222 312，因为 ba，所以 BA，又 B(0，180)，所以 B30，所以 C180AB105，所以 sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60 6 24，故 casin Csin A 2 3 6 2422 33.反思与感悟 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边跟踪训练 3 已知在ABC 中，b 3，c3，
9、B30，解此三角形解 方法一 由余弦定理 b2a2c22accos B 得(3)2a2322a3cos 30，a23 3a60，a 3或 a2 3.当 a 3时，ab，A30，C120；当 a2 3时，由正弦定理得sin Aasin Bb2 3sin 3031，又A(0，180)，A90，C60.C60，A90，a2 3或 C120，A30，a 3.方法二 由 bcsin 30知本题有两解由正弦定理，得 sin Ccsin Bb3123 32，C60或 120.当 C60时，A90，由勾股定理得 a b2c22 3；当 C120时，A30B，a 3.C60，A90，a2 3或 C120，A30
10、，a 3.题型四 余弦定理在实际生活中的应用例 4 如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求cos 的值解 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，BC20 7.由正弦定理ABsin ACBBCsin BAC，得 sinACBABBCsin BAC 217，BAC120，则ACB 为锐角，cos ACB2 77.cos cos(AC
11、B30)cos ACBcos 30sin ACBsin 302 77 32 217 12 2114.反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题跟踪训练 4 在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2，继续在地面上前进 200 3 m 后测得山峰的仰角为 4，则该山峰的高度为()A200 mB300 mC400 mD100 3 m答案 B解析 方法一 如图，BED，BDC 为等腰三角形，BDED600，BCDC200 3.在BCD 中，由余弦定理可得c
12、os 26002200 32200 322600200 3 32，230，460.在 RtABC 中，ABBCsin 4200 3 32 300，故选 B.方法二 由于BCD 是等腰三角形，12BDDCcos 2，即 300200 3cos 2，从而得 cos 2 32，230，460.在 RtABC 中，ABBCsin 4200 3 32 300，故选 B.1在ABC 中，符合余弦定理的是()Ac2a2b22abcos CBc2a2b22bccos ACb2a2c22bccos ADcos Ca2b2c22ab答案 A解析 由余弦定理及其推论知只有 A 正确2ABC 的内角 A，B，C 的对
13、边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2B.3C2 D3答案 D解析 由余弦定理，得 5b2222b223，解得 b3b13舍去，故选 D.3在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 C120，c 2a，则()AabBabCabDa 与 b 的大小关系不确定答案 A解析 cos 120a2b2c22aba2b22a22ab12，b 512aa.4在ABC 中，若 a2b2c2ab，则角 C 的大小为_答案 3解析 cos Ca2b2c22ab ab2ab12，又 B(0，)，B3.5在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
14、若 a1，b 7，c 3，则 B_.答案 56解析 cos Ba2c2b22ac 13721 3 32，又 B(0，)，B56.1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角2利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解
