1、山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学一、选择题：共12题1下列叙述中正确的是A.“”是“与平行”的充分条件B.“方程表示椭圆”的充要条件是“”C.命题“”的否定是“”D.命题“都是偶数,则是偶数”的逆否命题为“不是偶数,则都是奇函数”【答案】A【解析】本题主要考查常用逻辑用语.A选项中,当m=2时,与显然平行,故“”“与平行”,即“”是“与平行”的充分条件,故A正确.B选项中,当时,方程也可能表示双曲线或者两条直线,故B错误.C选项中命题“”的否定是“”,故C错误.D选项中,命题“都是偶数,则是偶数”的逆否命题为“不是偶数,则不全是偶数”.故选A. 2有一段“三段论
2、”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( )A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确【答案】A【解析】本题考查演绎推理中三段论的概念、导数的极值等相关知识。大前提错误，根据函数极值点的概念知：可导函数，导数为0，且导数在该点左右的符号相同，则该点不是极值点，否则为极值点。【备注】正确理解并掌握三段论中大前提、小前提和结论的意义。3已知,则等于A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查常用函数的导数.,令x=1,得,所以.故选B. 4已知四面体各棱长为是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A.B.
3、C.D.【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体、异面直线所成的角、余弦定理,考查了学生的空间想象能力.根据题意,取OC的中点E,连接DE、BE,则DEAC,且DE=,BD=BE=,BDE是异面直线BD与AC所成的角或补角,由余弦定理可得.故选C. 5已知,若(),则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查归纳推理.由,猜想,所以n=6时,又因为,所以.故选C. 6函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如上图所示,则函数在开区间内有极小值点A.个B.个C.个D.个【答案】A【解析】本题主要考查导数、函数的极值与性质.由导函数在内的图象可知,函数的图象趋势是,先增,再减,再增,最后是减,所
4、以,函数在开区间内的极小值点只有1个.故选A. 7函数有三个相异的零点,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查导数、函数的性质与零点.,由可得x1或x-1,由可得-1x0,b0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=,则双曲线的离心率为().A. B. C. D.【答案】D【解析】A,B连线过坐标原点,且都在双曲线上,A,B两点关于原点对称.设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1).kPAkPB=.又A,P都在双曲线上,=1,=1.两式相减,整理得,.b2=a2.又c2=a2+b2,c2=a2,即.双曲线的离心
5、率e=. 二、填空题：共4题13已知物体的运动方程是(的单位:的单位:),则物体在时刻时的加速度 .【答案】【解析】本题主要考查导数的物理意义.由物体的运动方程可得速度v=, 则物体在时刻时的加速度. 14过抛物线焦点的直线,它交于两点,则弦的中点的轨迹方程是 .【答案】【解析】本题主要考查抛物线的性质、中点坐标公式、方程思想、点的轨迹.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),由抛物线的方程可得焦点F(1,0),设直线l:,代入可得,则,消去m,化简可得,即为弦的中点的轨迹方程. 15有一非均匀分布的细棒,已知其线密度为,棒长为,则细棒的质量 .【答案】4【解析】本题主要考查定
6、积分.由题意可知,细棒的质量. 16已知命题“若函数在上是增函数,则”,下列结论正确的有 .否命题是“若函数在上是减函数,则”,是真命题逆命题是“若,则函数在上是增函数”,是真命题逆否命题是“若,则函数在上是减函数”,是真命题逆否命题是“若,则函数在上不是增函数”,是真命题【答案】【解析】本题主要考查四种命题及其真假的判断、导数与函数的性质、恒成立问题.,因为函数在上是增函数,所以x0时,恒成立,且,所以,即原命题是真命题;否命题是“若函数在上不是增函数,则”,故错误;逆命题是“若,则函数在上是增函数”,显然,时,恒成立,故逆命题是真命题,正确;所以逆否命题是“若,则函数在上不是增函数”,是真
7、命题,故错误,正确.三、解答题：共6题 17已知复数满足(为虚数单位).(1)求复数,以及复数的实部与虚部;(2)求复数的模.【答案】(1),其实部为2,虚部为1(2),.【解析】本题主要考查利用的定义、共轭复数与模、复数代数式的四则运算.(1)利用复数代数式的四则运算,求出复数,则结果易得;(2)化简求出,即可求模. 18求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.【答案】(分析法)设圆和正方形的周长为,依题意,圆的面积为,正方形的面积为.因此本题只需证明.要证明上式,只需证明,两边同乘以正数,得.因此,只需证明.上式是成立的,所以.这就证明了如果一个圆和一个正方形的周
8、长相等,那么圆的面积比正方形的面积大.【解析】本题主要考查利用分析法证明结论.设圆和正方形的周长为, 依题意,圆的面积为,正方形的面积为, 因此本题只需证明,利用分析法,找出其成立的充分条件,即可证明结论. 19设(其中,且).(1),请你推测能否用来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.【答案】(1)由,又,因此.(2)由,即,于是推测证明:因为,所以,所以=.【解析】本题主要考查推理与证明、指数的运算性质,考查了学生的计算能力.(1)利用指数的运算性质,根据题意,化简求出,再与比较可得结论;(2)由(1)可得,于是推测,再利用指数的运算性质化简进行证明推测的正确性.
9、 20设函数.(1)若函数的图象在点处的切线为直线,且直线与圆相切,求的值;(2)当时,求函数的单调区间.【答案】(1)因为,所以,所以直线l:,即,因为直线l与圆相切,所以,求解可得.(2),定义域为,由解得,由解得,所以,的单调递增区间是,的单调递减区间是.【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的性质、直线方程、点到直线的距离公式等.(1)求出,根据题意,求出直线l的方程,由点到直线的距离公式得,求解可得结果;(2)求出,分别解不等式与,可求得函数的单调区间. 21已知函数.(1)若,求函数的极值,并指出极大值还是极小值;(2)若,求函数在上的最值;(3)若,求证:在区间上,函数的图象在
10、的图象下方.【答案】(1)的定义域是,当时,在上递减;当时,在上递增,的极小值是,无极大值.(2)恒成立对,在上递增,.(3)证明:令(),在上恒成立,在区间上递减,在区间上,函数的图象在的图象下方.【解析】本题主要考查导数、函数的极值与性质,考查了恒成立问题与计算能力.(1)的定义域是,求出,解不等式,即可求出函数的单调区间,则可求出的极值;(2)求出,判断函数的单调性,即可求出最值;(3)令(),利用导数求出的单调区间,求出最大值,根据题意,判断最大值小于等于0即可. 22设函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若当时,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)当时,的单调递增区间为和,的单调递减区间为.(2),令,当时,在上为增函数.而,从而当时,即恒成立.若当时,令,得(用也对)当时,在上是减函数,而,从而当时,即,不成立.综上可得的取值范围为.【解析】本题主要考查导数、函数的性质,考查了分类讨论思想与恒成立问题,考查了计算能力.(1)当时,求出,解不等式,即可求得函数的单调区间;(2),令,分两种情况进行讨论函数的单调性,求出函数的最小值,进而求出最小值,根据恒成立问题的性质,即可求出的取值范围.
