1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时补集及综合应用导思1.全集是如何定义的？2什么是补集？如何求某一集合的补集？1.全集(1)概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：通常记作U.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？提示：不一定全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异2补集UA，A，U三者之间有什么关系？提示：AU，UAU，A(UA)U，A(UA).1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)UU，UU，
2、U(UA)A.()(2)若ABU，则UAUB.()(3)若xU，则xA或xUA，二者必居其一()提示：(1).由集合补集的定义可知三个等式都成立(2).画出Venn图可知，此说法正确(3).根据补集的定义可知，此说法正确2(教材例题改编)已知全集U1，2，3，4，5，6，7，集合A1，3，5，6，则UA等于()A1，3，5，6 B2，3，7 C2，4，7 D2，5，7【解析】选C.由题意知UA2，4，73已知UR，集合Ax|x2，则UA()A.x|2x2 Bx|x2C.x|2x2 Dx|x2或x2【解析】选C.观察数轴可知，UAx|2x2类型一补集的运算(数学抽象、逻辑推理)1设全集为U，M0
3、，2，4，UM6，则U等于()A0，2，4，6 B0，2，4C.6 D2已知全集U1，2，a22a3，A1，a，UA3，则实数a等于()A.0或2 B0 C1或2 D23设全集U1，2，x22，A1，x，则UA_【解析】1.选A.因为M0，2，4，UM6，所以UM0，2，4，62选D.由题意知，则a2.3若x2，则x222，与集合中元素的互异性矛盾，故x2，从而xx22，解得x1或x2(舍去).故U1，2，1，A1，1，则UA2答案：2 求集合补集的依据及处理技巧(1)依据：集合补集的定义(2)两种处理技巧：当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数
4、轴，利用数轴分析求解【补偿训练】1若全集U0，1，2，3且UA 2，则集合A的真子集共有()A3个 B5个 C7个 D8个【解析】选C.因为U0，1，2，3且UA2，所以A0，1，3，所以集合A的真子集共有7个2设全集UR，集合Ax|25答案：x|x2或x53已知全集Ux|x3，集合Ax|3x4，则UA_【解析】借助数轴得UAx|x3或x4. 答案：x|x3或x4类型二集合交、并、补的综合运算(数学抽象、逻辑推理)角度1借助Venn图进行的基本运算【典例】1.设全集U是实数集R，Mx|x2，Nx|1x3如图所示，则阴影部分所表示的集合为_2若设全集U1，2，3，4，5，A1，2，5，B2，4，
5、5(1)计算UA，UB，AB，AB.(2)计算(UA)(UB)，(UA)(UB)，U(AB)，U(AB).【思路导引】1.观察Venn图，得出阴影部分表示的集合2结合各集合，逐步进行运算即可【解析】1.阴影部分所表示的集合为U(MN)(UM)(UN)x|2x2x|x3x|2x1答案：x|2x12(1)因为U1，2，3，4，5，A1，2，5，B2，4，5，所以UA3，4，UB1，3，AB1，2，4，5，AB2，5(2)(UA)(UB)1，3，4，(UA)(UB)3，U(AB)3，U(AB)1，3，4在本例2(2)的基础上，猜测一个一般性的结论，并利用Venn图证明【解析】由此可猜测：(UA)(U
6、B)U(AB)；(UA)(UB)U(AB).证明如下：用Venn图表示(UA)(UB)U(AB)，有用Venn图表示(UA)(UB)U(AB)有：角度2借助数轴进行集合的基本运算【典例】1.已知集合Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB).2已知全集UR，集合Ax|1x2，若B(UA)R，B(UA)x|0x1或2x3，求集合B.【思路导引】1.画数轴，先计算AB，UA，UB，再计算(UA)B，A(UB).2先画出数轴，再结合已知条件求解【解析】1.如图所示因为Ax|2x3，Bx|3x2，所以UAx|x2或3x4，UBx|x3或2x4. ABx|2x2, 所以(
7、UA)Bx|x2或3x4，A(UB)x|2x32因为Ax|1x2，所以UAx|x2又B(UA)R，A(UA)R，可得AB.而B(UA)x|0x1或2x3，所以x|0x1或2x3B.借助于数轴，可得BAx|0x1或2x3x|0x2或x2，Nx|x3或x1都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|2x1 Bx|2x2Cx|1x2 Dx|x2【解析】选A.阴影部分表示的集合为N(UM)x|2x12已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若NIM，则MN等于()AMBNCID【解析】选A.因为NIM，所以NM(如图)，所以MNM.3(2021全国乙卷)已知全集U1，2，3，4，5
8、，集合M1，2，N3，4，则U(MN)()A5 B1，2 C3，4 D1，2，3，4【解析】选A.由M1，2，N3，4，所以MN1，2，3，4，所以U(MN)54全集Ux|x10，xN*，AU，BU，(UB)A1，9，AB3，(UA)(UB)4，6，7，求集合A，B.【解析】方法一：根据题意作出Venn 图如图所示. 由图可知A1，3，9，B2，3，5，8. 方法二：因为(UB)A1，9, (UA)(UB)4，6，7，所以UB1，4，6，7，9. 又因为U1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以B2，3，5，8. 因为(UB)A1，9，AB3，所以A1，3，9【补偿训练】1已知全集U1，2，3
9、，4，5，6，7，A3，4，5，B1，3，6，那么集合2，7是()AAB BABCU(AB) DU(AB)【解析】选D.因为AB1，3，4，5，6，所以U(AB)2，72已知全集Ux|1x4，Ax|1x1，Bx|0x3，求UA，(UB)A.【解析】因为Ux|1x4，Ax|1x1，Bx|0x3，结合数轴(如图).可知UAx|1x4，UBx|3x4或1x0结合数轴(如图).可知(UB)Ax|1x0类型三根据补集的运算结果求参数值或范围(数学抽象、逻辑推理)【典例】设集合Ax|xm0，Bx|2x4，全集UR，且(UA)B，求实数m的取值范围四步内容理解题意条件：(UA)B，结论：求实数m的取值范围思
10、路探求方法一：由A求出UA，借助数轴以及(UA)B，建立关于m的不等式，解不等式即可求解方法二：由(UA)B，得出BA，进而求解书写表达方法一(直接法)：由Ax|xm0x|xm，得UAx|xm因为Bx|2x4，(UA)B，所以m2，即m2，所以m的取值范围是m2.方法二(集合间的关系)：由(UA)B可知BA，又Bx|2x4，Ax|xm0x|xm，结合数轴：得m2，即m2.说明：(1)借助数轴，更能直观地看出UA与B应满足的关系；(2)注意端点值的符号成立与否的问题题后反思1.两个集合的交集为空集，说明两个集合没有公共元素；2(UA)B等价于BA. 由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是
11、有限集，由补集求参数的问题，可利用补集定义并结合知识求解(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题，一般利用数轴分析法求解1设全集UR，Ax|xm，若UAB，则实数m的取值范围是_【解析】因为UAx|x1，Bx|xm，所以由UAB可知m1.答案：m|m12已知UR，Ax|axb，UAx|x4，则ab_【解析】因为A(UA)R，所以a3，b4，所以ab12.答案：123.已知Ax|02xa3，B.(1)当a1时，求(RB)A；(2)若AB，求实数a的取值范围【解析】(1)当a1时，A，又B，所以RB，所以(RB)Ax|x1或x2(2)因为A，若AB，当A时，所以03不成立，
12、所以A，所以所以1a1，所以a的取值范围是a|1a1【拓展延伸】补集思想的应用对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现【拓展训练】已知集合Ax|x2ax10，Bx|x22xa0，Cx|x22ax20若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围. 【解析】假设三个方程均无实根，则有 即解得a1，所以当a或a1时，三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有一个集合不是空集则a的取值范围为.备选类型
13、集合的基本运算在实际问题中的应用【典例】某校随机抽取50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是这50名学生的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的多1人你能说出对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？【思路导引】可设对A，B都赞成的学生人数为x人，借助Venn图，结合已知条件，即可求出结论【解析】设对A，B都赞成的学生人数为x.已知赞成A的人数为5030，赞成B的人数为30333, 记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.用Venn图表示如图所示已知对
14、A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为1，赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x.依题意(30x)(33x)x50，解得x21.答：对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人 补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，当正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”的策略，先求UA，再由U(UA)A求A.某班共有30名学生，在校运动会上有20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，则两项都参加的人数为_【解析】如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.根据题意，有
15、解得x5，即两项都参加的有5人答案：51设集合U1，2，3，4，5，A1，2，5，则UA()A1，5 B3，4C3，5 D1，2，3，4，5【解析】选B.因为U1，2，3，4，5，A1，2，5所以UA3，42已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1【解析】选D.由题意可知，ABx|x0或x1，所以U(AB)x|0x13(教材习题改编)已知全集UR，集合Ax|12x19，则UA等于() Ax|x4 Bx|x0或x4 Cx|x0或x4 Dx|x0或x4 【解析】选D.因为UR，Ax|0x4，所以UAx|x1，则RA_【解析】因为Ax|x1，所以RAx|x1答案：x|x15已知全集为U，集合A1，3，5，7，UA2，4，6，UB1，4，6，则集合B_【解析】方法一：因为A1，3，5，7，UA2，4，6，所以U1，2，3，4，5，6，7又UB1，4，6，所以B2，3，5，7方法二：(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示由图可知B2，3，5，7答案：2，3，5，76已知全集U2，0，3a2，U的子集P2，a2a2，UP1，求实数a的值【解析】由已知得，1U，且1P，因此解得a2.当a2时，U2，0，1，P2，0，UP1，满足题意因此实数a的值为2.关闭Word文档返回原板块
