1、2012届浙江高考理科数学解答题拔高训练试题(10)三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程18（本小题满分14分） 在ABC中，已知角A为锐角，且（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC的长19（本小题满分14分）在数列中，a11，当时，其前n项和满足：（1）求；（2）令，求数列的前n项和20（本小题满分15分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角CAEF的余弦值的大小21（本小题满分15分）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，
2、我们将该弦称之为曲线的垂轴弦已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点（1）试用的代数式分别表示和；（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）22（本小题满分14分）已知函数的图象在上连续不断，定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”（1）已
3、知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围2012届浙江高考理科数学解答题拔高训练试题(10)参 答18（本小题满分14分）解：（1） 7分（2）由 在ABC中，由正弦定理得： 14分19（本小题满分14分）20（本小题满分15分）解：不妨设正方体的棱长为2，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(1，1，2)（1）由(1，0，2)，(1，1，2)，得，|，1043又|cos，cos，c
4、os，即AE与CF所成角的余弦值为 7分（2）(0，1，0)，(1，0，2)(0，1，0)0，AEEF，过C作CMAE于M，则二面角CAEF的大小等于，M在AE上，设m，则(m，0，2m)，(2，2，0)(m，0，2m)(m2，2，2m)MCAE，(m2，2，2m)(1，0，2)0，m，(，2，)，|，(0，1，0)(，2，)0202又|cos，cos，cos，二面角CAEF的余弦值的大小为 15分21（本小题满分15分）解：（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以 则 令则 同理可得： 3分（2）由（1）可知： 在椭圆C：上， 则（定值）是与和点位置无关的定值 8分（3）第一层次：点是圆C：上
5、不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则 证明如下：由（1）知： 在圆C：上，则是与和点位置无关的定值 10分点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则 证明如下：由（1）知： 在双曲线C：上，则是与和点位置无关的定值 12分第二层次：点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则证明如下：由（1）知： ，在抛物线C：上，则是与和点位置无关的定值 15分22（本小题满分14分）解：（1）由题意可得， 于是若是为上的“阶收缩函数”，则在上恒成立，且成立令,，则，所以在单调递减，,，即，于是在恒成立；又成立故存在最小的正整数，使是为上的“2阶收缩函数”6分（2）,令得或.函数,的变化情况如下：x(，0)0(0，2)2(2，+)0 +0y减极小增极大减）时，在上单调递增，因此，因为是上的2阶收缩函数，所以，对恒成立；存在，使得成立即：对恒成立，由，解得：或，要使对恒成立，需且只需即：存在，使得成立由得：或，所以，需且只需综合可得： ）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得：，可得 ，此时，不成立综合）可得： 14分注：在）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已
