1、学科网（北京）股份有限公司南京市金陵中学 2023-2024 学年高三模拟测试数学 2024.2.19 本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一选择题：本题共 8 小题，每小题
2、 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用分层抽样的方法从某社区的 500 名男居民和 700 名女居民中选取 12 人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（）A.8 人 B.6 人 C.4 人 D.2 人 2.若集合()2ln 4,2,2My yxN=，则 MN=（）A.2,2 B.()2,2 C.(,2 D.2,ln4 3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章（1247 年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形
3、的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位 cm），则平地降雪厚度的近似值为（）A.91cm12 B.31cm4 C.95 cm12 D.97 cm12学科网（北京）股份有限公司4.抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为 F，且C 与椭圆2212xy+=在第一象限的交点为 A，若 AFx轴，则 p=（）A.2 23 B.1 C.2 D.23 5.如图 1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向
4、下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图 2，是一个纸风车示意图，则（）A.OCOE=B.0OA OB C.2OAODOE+=D.0OAOCOD+=6.设,A B 为两个事件，已知()()()231,552P AP BP A B=，则()P A B=（）A.23 B.13 C.35 D.25 7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB的一边QA上的两点，试在边QB 上找一点P，使得MPN最大.如图，其结论是：点 P 为过,M N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面
5、直角坐标系 xoy 中，给定两点()()0,2,2,4MN，点 P 在 x 轴上移动，当MPN取最大值时，点 P 的横坐标是（）A.2 B.6 C.2 或 6 D.1 或 3 8.若0.0010.001 sin0.001,ln1.001,e1abc=+=，则（）A.bca B.cab学科网（北京）股份有限公司C.cba D.acb二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.已知直线,l m，平面,，则下列说法错误的是（）A.m ,l l ，则m B.l,m,lm，则 C.
6、l,m lm，则 D.l,m,lmlmM=，则 10.已知()sin23cos2f xxx=+，则（）A.函数()f x 的最小正周期为 B.将函数()f x 的图象向右平移 6个单位，所得图象关于 y 轴对称 C.函数()f x 在区间,12 2上单调递减 D.若()12f =，则28tantan166+=11.若,x y 满足28()23xyxy+=，则（）A.3yx B.2yx D.34xy三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.若复数34i34iz=+，则 z=_.13.已知数列 na满足()*1111,20nnnnaaaa an+=+=N，则数列 na的通项公
7、式为_.14.已知 P 是双曲线22:(0)84xyC=上任意一点，若 P 到C 的两条渐近线的距离之积为 23，则C 上的点到焦点距离的最小值为_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.学科网（北京）股份有限公司15.（本小题满分 13 分）已知在 ABC中，三边,a b c 所对的角分别为,A B C，已知()coscos cos3 sin cosaABCbAC+=.（1）求C；（2）若2,aABC=外接圆的直径为 4，求 ABC的面积.16.（本小题满分 15 分）某高中为了了解高中学生暑假期间阅读古典名著的时间 x（小时/每周）和他们的语文成
8、绩 y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一 编号 1 2 3 4 5 学习时间 x 2 4 7 7 10 语文成绩 y 82 93 95 108 122（1）请根据所给数据求出语文成绩 y 的平均数和方差；（2）基于上述调查，学校为了确认学生喜欢阅读古典名著与语文成绩的关系，抽样调查了 200 位学生.按照是否喜欢阅读古典名著与语文成绩是否优秀统计，得到下列数据，请依据表中数据及小概率值0.01=的独立性检验，分析“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”是否有关.表二 语文成绩优秀 语文成绩不优秀 合计 喜欢阅读 75 25 100 不喜欢阅读 55 45 100 合计 13
9、0 70 200()()()()22():.n adbcabcdacbd=+附 0.10 0.05 0.010 ax 2.706 3.841 6.635 17.（本小题满分 15 分）如图，四棱锥 PABCD中，2PAPBABAD=，4BC=，ADBC，ADAB，AC 与 BD交于点O，过点O 作平行于平面 PAB 的平面.（1）若平面 分别交 PC，BC 于点 E，F，求 OEF的周长；（2）当2 2PD=时，求平面 与平面 PCD 夹角的正弦值.学科网（北京）股份有限公司18.（本小题满分 17 分）已知椭圆22:1,82xyCO+=为坐标原点，若椭圆C 与椭圆C 的离心率相同，焦点都在同
10、一坐标轴上，椭圆C 的长轴长与椭圆C 的长轴长之比为1:2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点 P 在椭圆C 上，点,A B 在椭圆C 上，若OPOAOB=+，则四边形OAPB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.19.（本小题满分 17 分）若一个两位正整数m 的个位数为 4，则称m 为“好数”.（1）求证：对任意“好数”2,16m m 一定为 20 的倍数；（2）若22mpq=，且,p q 为正整数，则称数对(),p q 为“友好数对”，规定：()qH mp=，例如222451=，称数对()5,1 为“友好数对”，则()1245H=，求小于 70 的“好数”中，所有“友
11、好数对”的()H m的最大值.学科网（北京）股份有限公司数学参考答案及解析一选择题 1.D 【解析】由题可知，男居民选取 5001251200=人，女居民选取1257=人，则女居民比男居民多选取 2 人.故选 D.2.D 【解析】()(2ln 4,ln4My yx=，所以2,ln4MN=.故选 D.3.C 【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为 204015cm4+=，所以平地降雪厚度的近似值为()2221 20101510 15953cm2012+=.故选 C.4.A 【解析】由题设,02pF，且 A 在第一象限，AFx轴，则,2pAp，又 A 在椭圆上，故2228189ppp+=，而
12、0p，故2 23p=，故选 A.5.C 【解析】不妨设|1OBOCOE=，则|2OAOD=，显然OC与OE方向不一致，所以OCOE，A 错误；|cos0OA OBOAOBAOB=，故点()2,0P为所求，即点 P 的横坐标为 2.故选 A.8.D 【解析】令()()()sin,ln1f xxx g xx=+=+，()()()()e1,e1xxh xp xh xf xx=()()()()sin,e1 ln1,xx q xh xg xx=+()()1e1 cos,e1xxpxx qxx=+，令()()(),esinxm xpxm xx=+=，当 x10,2时，()0m x，所以()p x在10,2
13、时单 调递增，所以当10,2x时，()12pxp=13e1 cose1 cose10262 =，所 以()p x 在10,2x时单週递减.所以()()0.00100pp=，所以ca=，所以cb，综上，acb.故选 D.二多选题 9.ABC 【解析】选项A 中，m 可能在 内，也可能与 平行，故A 错误；选项B 中，与 也可能相交，故 B 错误；学科网（北京）股份有限公司选项 C 中，与 也可能相交，故 C 错误；选项 D 中，依据面面平行的判定定理可知 ，故 D 正确.故选ABC.10.ACD 【解析】由()sin 23 cos2f xxx=+得()f x132sin2cos22sin 222
14、3xxx=+=+，对于A：最小正周期为22T=，所以 A 正确；对于B：将函数()f x 的图象上所有点向右平移 6，所得图象的函数解析式为()2sin 22sin263g xxx=+=，而()g x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以 B 错误；对于 C：令32 22,232kxkk+Z，化简得7,1212kxkk+Z，当0k=时，71212x，又因为7,12 212 12，所以函数在,12 2单调递减，所以 C 正确：对于 D 选项：因为()12f =，所以1sin 234+=，所以1sincos668+=，所以22sincos1668sincos66+=+，即得2tan1681tan
15、6+=+，也就是28tantan166+=，所以 D 正确.故选ACD.11.ABD 【解析】令 yxt=，即 yxt=+，代入28()23xyxy+=得，()223204xtxt+=，所以()22320tt=，解得33t，所以A 正确，B 正确；由28()23xyxy+=可变形为22223xyxy+=+，因为222222xyxyxy+，所以1133xyxyxy+，解得3342xy，所以 C不正确，D 正确.故选 ABD.三填空题 12.4 5 【解析】因为2234i3484iz=+=，所以228(4)4 5z=+=.故答案为4 5.学科网（北京）股份有限公司13.121nna=【解析】112
16、0nnnnaaa a+=，11111121,121.nnnnaaaa+=+=+111211nnaa+=+，又11112,1naa+=+是以 2 为 首项，公比为 2 的等比数列.1112,21nnnnaa+=.故答案为121nna=.14.32 【解析】所求的双曲线方程为22(0)84xy=，设点()00,P xy，则222200002884xyxy=，点 P 到C 的两条浙近线的距离之积为220000002222222823331(2)1(2)xyxyxy+=+，解得：14=，故双曲线C 方程为：2212xy=，故2,3ac=，故双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为32ca=.故答案为 32
17、.四解答题 15.解：（1）因为()coscos cos3 sin cosaABCbAC+=，由正弦定理得()sincoscos cos3sin sin cosAABCBAC+=，因为()0,sin0AA，所以coscos cos3sin cosABCBC+=，因为()coscosABC=+sin sincos cosBCBC=.所以sin sin3sin cosBCBC=，又sin0B，则 tan3C=，因为()0,C，学科网（北京）股份有限公司所以3C=.（2）因为4sin2 3cC=，所以2221cos22abcCab+=，得4b=或2b=（舍去），所以 ABC的面积1sin2 32Sa
18、bC=.16.解：（1）2222829395 108 1221100,(82 100)(93 100)(122 100)189.2,55ys+=+=所以语文成绩 y 的平均数为 100，方差为 189.2.（2）零假设为0H：喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀无关.根据数据，因为220.01200(75 4555 25)8008.7916.635130 100 70 10091x=，所以依据0.01=的独立性检验，0H 不成立，故可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”有关.17.17.解：（1）由题意可知，四边形 ABCD 是直角梯形，AOD与 COB相似，12ADBC=，11,.22AOOC
19、 ODOB=因为过点O 作平行于平面 PAB 的面 分别交 PC，BC 于点,E F，由面面平行的性质定理得OE PA，OF,AB EF PB，所以 OEF与 PAB相似，相似比为 3：2，因为 PAB的周长为 6，所以三角形 OEF的周长为 4.（2）a 平面,PAB 平面 与平面 PCD 的夹角与平面 PAB 与平面 PCD 的夹角相等，2AD=，2222,2 2,PAPDPDADPA=+ADPA，又,ADAB ABPAAAD=平面 PAB.AD 平面,ABCD 平面 PAB 平面 ABCD，取 AB 的中点G，因为 ABC为等边三角形，,PGABPG 平面 ABCD.以 A 点为原点，A
20、B 所在直线为 x 轴，AD 为 y 轴，过点 A 与 PG 平行的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司()()()()()()0,0,0,0,2,0,1,0,3,2,4,0,0,2,0),2,2,0,1,2,3,ADPCADDCDP=设平面 PCD 的法向量(),nx y z=，2200,(1,1,3)2300 xyDC nnxyzDP n+=+=，AD 平面,PABAD是平面 PAB 的法向量，152 5cos,sin555AD nAD n=.所以平面a 与平面 PCD 夹角的正弦值为 2 55.18.解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)xyaba
21、b+=.椭圆22:182xyC+=中，长轴长为284 2=，离心 率为82328=.因为桸圆C 的长轴长与椭圆C 的长轴长之比为1:2，所以2:4 21:2a=，解得2a=.因为椭圆C 与椭圆C 的离心率相同，所以32ca=，解得3c=.所以221bac=，学科网（北京）股份有限公司故椭圆C 的方程为2214xy+=.（2）设()()()112200,A x yB xyP xy.因为点 P 在曲线C 上，所以2200182xy+=，因为OPOAOB=+，所以四边形OAPB 为平行四边形，所以()()001212,xyxxyy=+.所以()()221212182xxyy+=.又222212121
22、,144xxyy+=+=，所以121204x xy y+=，因为22222212121212121214442xxx xx yy xyyy y+=+=，所以2121212x yy x=，则12122x yy x=，直线11:0OA y xx y=，因为点 B 到直线OA的距离12122211x yy xdxy=+，所以平行四边形OAPB 的面积12122211121222112OAPBx yy xSOA dxyx yy xxy=+=+.所以四边形OAPB 面积是定值，定值为 2.19.（1）证明：设104mt=+，19t 且t 为整数，()()222216104161008016 1620 5
23、4mttttt=+=+=+学科网（北京）股份有限公司19t，且t 为整数，254tt+是正整数，216m 一定是 20 的倍数；（2）22mpq=，且,p q 为正整数，()()104tpqpq+=+，当1t=时，104141 142 7t+=，没有满足条件的,p q，当2t=时，104241 242 123 84 6t+=，满足条件的有122pqpq+=或64pqpq+=，解得75pq=或51pq=，()57H m=或 15，当3t=时，104341 342 17t+=，没有满足条件的,p q，当4t=时，104441 442 224 11t+=，满足条件的有222pqpq+=，解得1210pq=，()105126H m=，当5t=时，104541 542 273 186 9t+=，没有满足条件的,p q，当6t=时，104641 642 324 168 8t+=，满足条件的有322pqpq+=或164pqpq+=，解得1715pq=或106pq=，()1517H m=或 35，小于 70 的“好数”中，所有“友好数对”的()H m 的最大值为1517.
