1、专题四 立体几何真题体验引领卷一、选择题1(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.2(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛3(2015安徽高考)已知m，n是两条不同直线
2、，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4(2015福建高考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D2566(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，
3、该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8二、填空题7(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_8(2015重庆高考改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_9(2015四川高考)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_三、解答题10(2015浙江高考
4、)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值11.(2014天津高考)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD，AD2，PAPD，E，F分别是棱AD，PC的中点(1)证明：EF平面PAB；(2)若二面角PADB为60，证明：平面PBC平面ABCD；求直线EF与平面PBC所成角的正弦值12(2015天津高考)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点(
5、1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小专题四立体几何真题体验引领卷1D如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.2B由题意知，米堆的底面半径R(尺)，则米堆体积VR2h35(立方尺)所以堆放的米大约为22(斛)3DA中或与相交，A错；B中直线m与n的位置关系：相交、平行或异面，B错；C中，在内存在直线l平行与的交线，从而l.因此C不正确；选项D中，假设m，n垂直于同一
6、平面，则mn与m、n不平行矛盾，因此m，n不能垂直于同一平面，D正确4B当l时，由于m平面.ml.则必要性成立但lm时，由于m，则l或l，故充分性不成立故“lm”是“l”的必要不充分条件5C设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R(如图所示)由AOB90，得SAOBR2，要使VOABCSAOBh最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R.故VOABCR336，则R6.所以S球4R2462144.6B由三视图知，该几何体由半个圆柱和半球体构成，由题设得(r24r2)2r2r2r2rr21620.解之得r2.7.设新的底面半径为r，由题意
7、得r24r2852822，解之得r.8.由三视图知，该几何体为一个三棱锥与一个半圆柱构成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2；三棱锥的底面为斜边为2的等腰直角三角形，高为1.则V三棱锥211，V半圆柱122.故所求几何体的体积VV三棱锥V半圆柱.9.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系(如图)设AB2，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(2，1，0)设点M(0，y，2)(0y2)于是(1，y，2)，(2，1，0)cos |cos，|.又t在y0，2上是减函数当y0时，t有最大值，即cos 的最大值为.10(1)证明设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E平面ABC，所
8、以A1EAE，因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)解作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F.又A1F平面BB1C1C，所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14.DA1EA，DA1E90，得A1F.所
9、以sin A1BF.11.(1)证明如图，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，故MFBC且MFBC.由已知有BCAD，BCAD.又由于E为AD中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)证明连接PE，BE.因为PAPD，BABD，而E为AD中点，故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角PADB的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2.在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB.又BCAD
10、，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以，平面PBC平面ABCD.解连接BF.由知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角而MBPB，可得AM.故EF.又BE1，故在直角三角形EBF中，sin EFB.所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.12(1)证明如图，连接A1B，在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA，BA1平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)证明因为ABAC，E为BC中点，所以AEBC，因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面
11、ABC，从而BB1AE.又因为BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因为AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)解取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NEB1B，NEB1B，故NEA1A且NEA1A，所以A1NAE，且A1NAE.又因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2.因为BMAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB，又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，所以A1B1N30.所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.
