1、第七节 抛物线第七节 抛物线 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1定义 平面内与一定点F和一条定直线l(不经过F)的距离_的点的轨迹叫做抛物线，即_.点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_ 相等焦点PFd 1准线思考感悟当定点在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：是一条直线，过定点与l垂直的直线2抛物线的标准方程、类型及几何性质Fp2，0F0，p2xp2yp2性质范围x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0对称轴_y 轴顶点_离心率_开口_向左_向下焦半径 PFp2x1_ PFp2y1_x轴O(0,0)e1向右向上PFp2x1PFp2y
2、11经过点(2,4)的抛物线的标准方程是_答案：y28x或x2y2(2011年盐城质检)抛物线y2x2的焦点坐标为_课前热身 答案：(0，18)3设抛物线的顶点坐标为(0,2)，准线方程为y1，则它的焦点坐标为_答案：(0,5)4(2010年高考四川卷改编)抛物线y28x的焦点到准线的距离是_答案：4考点探究挑战高考 抛物线的定义及其应用 考点突破 利用抛物线定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离之间进行相互转化例如若点P0(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的任一点，则该点到抛物线的焦点 F 的距离 PFx0p2(焦半径公式)，这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距
3、离的问题带来方便在求过焦点的弦长时，经常将其转化为两端点到准线的距离之和，再用根与系数关系求解，有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标【思路分析】利用定义将求PAPF的最小值转化为PAd的问题例1【解】将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6.62，A 在抛物线内部设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知 PAPFPAd.当 PAl 时，PAd 最小，最小值为72，即 PAPF 的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x
4、2.点 P 坐标为(2,2)【名师点评】利用抛物线定义解题时应特别注意应用“斜直转换”，即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换，同时常结合对称性变换互动探究 1 将本例中 A(3,2)改为 A(3，103)，求 PAPF的最小值及此时 P 点的坐标解：可判断 A(3，103)在抛物线 y22x 的外部，由定义可知 PAPFAF256，此时P(2,2)1求抛物线的标准方程常采用待定系数法或轨迹法利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值2抛物线的性质要根据不同的抛物线方程来确定，主要指开口方向、轴、顶点、焦点、准线及焦半径和变量的范围抛物线的方程及几何性质 已知抛物线y2
5、2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_【思路分析】写出直线方程与抛物线联立，利用根与系数的关系可求p.例2【解析】过焦点 F(p2，0)且斜率为 1 的直线方程为 yxp2，与抛物线方程联立可得 y22pyp20，所以 y1y22p4.所以 p2，故准线方程为 x1.【答案】x1 抛物线的综合问题 直线和抛物线的位置关系，可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组实数解的个数来确定，同时注意过焦点的弦的一些性质，如：x1x2p24，y1y2p2，弦长 lx1x2p.(2010 年高考湖北卷)已知一条曲线 C 在 y 轴右
6、边，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A、B 的任一直线，都有FAFB 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由例3【思路分析】(1)设点P(x，y)，列出关系式，化简；(2)设出直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系代入计算【解】(1)设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x，y)满足 x12y2x1(x0)，化简得 y24x(x0)(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2
7、，y2)设 l 的方程为 xtym，由xtym，y24x，得y24ty4m0，16(t2m)0，于是y1y24t，y1y24m.又FA(x11，y1)，FB(x21，y2)，FA FB 0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x21y1y20.又 xy24，于是不等式等价于y214 y224 y1y2(y214 y224)10y1y2216 y1y214(y1y2)22y1y210，由式，不等式等价于 m26m14t2，对任意实数 t,4t2 的最小值为 0，所以不等式对于一切 t 成立等价于 m26m10，即 32 2m32 2.由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C
8、有两个交点 A，B 的任一直线，都有FA FB 0，且 m的取值范围是(32 2，32 2)【名师点评】(1)本题也可以用抛物线的定义判断并求方程；(2)向量数量积FA FB 用坐标表示后，再与根与系数的关系相联系，在圆锥曲线中，向量数量积等有关向量的知识可以借助于图形或坐标运算转化变式训练 2 已知抛物线 C1：y24px(p0)，焦点为 F2，其准线与 x 轴交于点 F1；椭圆 C2：分别以F1、F2 为左、右焦点，其离心率 e12；且抛物线C1 和椭圆 C2 的一个交点记为 M.(1)当p1时，求椭圆C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1
9、相交于A，B两点，若弦长AB等于MF1F2的周长，求直线l的方程解：(1)P1，F1(1,0)，F2(1,0)，C1.又e12，a2，b23.故椭圆 C2 的标准方程为x24 y23 1.(2)若直线l的斜率不存在，则l：x1，且A(1,2)，B(1，2)，AB4.又MF1F2的周长等于 MF1MF2F1F22a2c6AB.直线l的斜率必存在 设直线l的斜率为k，则l：yk(x1)，由 y24xykx1，得k2x2(2k24)xk20，直线 l 与抛物线 C1 有两个交点 A，B，(2k24)24k416k2160，且 k0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得 x1x22k24k2
10、，x1x21于是 AB1k2|x1x21k2x1x224x1x21k22 4k2241k216k216k441k2k2，MF1F2 的周长等于MF1MF2F1F22a2c6，由41k2k26，解得 k 2.故所求直线 l 的方程为 y 2(x1)方法技巧1重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线的距离之间的相互转化；注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦距、通径与抛物线标准方程中系数的关系；通晓四种标准方程间的关系：方法感悟 将 y22px 关于 y 轴、直线 xy0 与 xy0 对称可得抛物线的其他三种形式或将抛物线 y22px 绕原点旋转2或 也可以得到抛物线其
11、他几种形式；注意数形结合，提倡画出合理草图2复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y22ax或x22ay(a0)，此时a不具有p的几何意义(2)抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化(3)求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不确定而分成y22px(p0)或y22px(p0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2mx或x2ny(m0，n0)，若m0，开口向右，若m0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0，(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当b0)的右焦点，且两曲线的公共点的连线过 F，则该椭圆的离心率为_解析：由题意得ca2b2p2b2a p，2cb2a，2aca2c2，解得 eca 21.答案：21本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
