1、 甘肃兰州一中2008届高三第一学期月考理科数学试题 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1含有三个实数的集合可表示为的值为( )A0B1C1D2复数等于( )AiBiCD3设函数处的切线的斜率为k,若,则函数的图象大致为( )4设命题内单调递增,命题的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D即不充分也不必要条件5已知,下面结论正确的是( )A处连续BCD6函数的定义域为开区间(a,b),导函数在(a,b)
2、内的的图象如图所示,则函数在开区间(a,b)内有极小值点 ( )A1个B2个C3个D4个7若,则表示复数z的点Z在复平面的( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8如果随机变量=( )ABCD9在凸n边形有条对角线,则凸=( )ABCD2,4,610若=( )A1BC1D11已知( )A等于AB等于C等于3AD可能不存在12设集合被4除的余数,的个数为( )A4B3C2D12,4,6第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上。13一次考试中,试卷有14道单选题(每题的4个选项中有且只有一个是正确的),每题4分。某同学除两道题有把握答
3、对外,其余各题均是随机选一答案。该同学在单选题这一项的得分的期望是 .14已知函数 ; b = .15等差数列,则以x为自变量a1为函数的表达式为a1 = .16曲线的斜率最小的切线方程为 .三、解答题:本大题共6小题。17(10分)设集合,若,求:实数a的取值范围.18(12分)在近期举行的高中数学竞赛预赛中,我校参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)。已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名。 (I)试问此次参赛学生总数约为多少人? (II)若计划竞赛成绩排在前50名的学生将参加复赛,试问参加复赛的分数线约为多少分?可共查阅的(部分)标准正态分布表x0012345678
4、91.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.9808
5、0.98500.89770.91620.93060.97620.98120.98540.90100.91770.93190.97670.98170.985719(12分)是否存在常数a、b、d,使下列等式对一切正整数n都成立?并证明你的结论。 2,4,620(12分)请您设计一个帐逢。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当账篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?21(12分)已知函数处的切线与直线平行。 (1)求函数的单调递减区间; (2)求函数的极大值与极小值的差; (3)若恒成立,求实数c的取值范围.22(12分)已知函
6、数在R上有定义,对任何实数都有 (I)证明; (II)证明; (III)当(II)中的内的单调性并求极值.参考答案第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C 2A 3A 4C 5D 6A 7C 8B 9C 10B 11B 12C2,4,6第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,共20分,把答案填在题中的横线上。1320 14 15 1613提示:14提示: 由得15提示:16提示: 三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10分) 解:由1分 2分
7、 当, 即;4分 当;6分 当;8分 当;10分 综上所得 18(2分) 解:(I)设参赛学生的分数为,由条件知, =4分 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,因此参赛总人数约为(人)。6分 (II)假定设奖的分数线为x分,则 ,9分 即12分 故设奖得分数线约为83.1分。19(12分)证明:设当n=1,2,3时等式成立, 则此时,等式对成立,4分 下证对任意等式成立 时,等式成立已证,6分 则n = k + 1时等式成立,故对任等式成立。12分20(12分) 解:设OO1为xm, 则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m) 2分 于是底面正六边形的面积
8、(单位:m2) 4分 账篷的体积为(单位:m3) 6分 求导数,得8分 令9分 当;10分 当为减函数。11分 所以当最大。12分 答:当OO1为2m时,账篷的体积最大。21(12分) 解:(1)由题意得 解得1分 由3分 ,单调递减区间是(0,2)4分 (2)由(1)可知函数在时取得极大值c,在x =2时取得极小值c4,6分 函数的极大值与极小值的差为8分 (3)由(1)可知函数在区间1,2上单调递减,在区间2,3单调递增, 函数在区间1,3上的最小值为10分为使当解得则c的取值范围是12分22(12分)证明 (I)令2分 (II)令令成立。7分 (III)当8分令;9分当, 是单调递减函数;10分当,是单调递增函数;11分所以当12分