1、 核心概念掌握 知识点一 向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由 表示出来(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 ；01 向量的线性运算及数量积02 平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系知识点二 向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：01 abab(R，b0)x1y2x2y10(a(x1，y1)，b(x2，y2)(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形
2、、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：(3)求角问题，利用公式：cosa，b (a(x1，y1)，b(x2，y2)(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|(a(x，y)或 AB (A(x1，y1)，B(x2，y2)02 abab0 x1x2y1y20(a(x1，y1)，b(x2，y2)03 ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y2204a2 x2y205|AB|x1x22y1y22向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹
3、角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算向量和数到形”1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC 是直角三角形，则有ABBC0.()(2)若ABCD，则直线 AB 与 CD 平行()(3)向量AB，CD 的夹角就是直线 AB，CD 的夹角()2做一做(1)在四边形 ABCD 中，ABB
4、C0，BCAD，则四边形 ABCD 是()A直角梯形B菱形C矩形D正方形(2)设 O 是ABC 内部一点，且OA OC 2OB，则AOB 与AOC的面积之比为_答案(1)C(2)12答案 核心素养形成 题型一向量在平面几何证明问题中的应用例 1 在直角梯形 ABCD 中，ABCD，CDADAB90，CDDA12AB，求证：ACBC证明 证法一：CDADAB90，ABCD，CDDA12AB，故可设AD e1，DC e2，|e1|e2|，则AB2e2.ACAD DC e1e2，BCACAB(e1e2)2e2e1e2.而ACBC(e1e2)(e1e2)e21e22|e1|2|e2|20，ACBC，即
5、 ACBC答案 证法二：如图，建立直角坐标系，设 CD1，则 A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)BC(1,1)，AC(1,1)BCAC(1,1)(1,1)110.ACBC答案 用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化已知在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AEFC14AC，试用向量方法证明四边形 DEBF 也是平行四
6、边形证明 设AD a，ABb，则DE AEAD 14ACa14(ab)a14b34a，FBABAFb34AC14b34a，所以DE FB，且 D，E，F，B 四点不共线，所以四边形 DEBF 是平行四边形答案 题型二向量在平面几何计算问题中的应用例 2 已知在 RtABC 中，C90，设 ACm，BCn.(1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD12AB；(2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于点 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)解(1)证明：以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(
7、n,0)D 为 AB 的中点，Dn2，m2.|CD|12n2m2，|AB|m2n2，|CD|12|AB|，即 CD12AB答案 (2)E 为 CD 的中点，En4，m4，设 F(x,0)，则AEn4，34m，AF(x，m)A，E，F 三点共线，AFAE，即(x，m)n4，34m.答案 则xn4，m34m，故 43，xn3，Fn3，0，|AF|13n29m2，即 AF13n29m2.答案 用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2a2 求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若 a(x，y)，则|a|
8、x2y2.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD1，AB2，对角线 BD2，求对角线 AC 的长解 设AD a，ABb，则BD ab，ACab，而|BD|ab|a22abb2 142ab 52ab2，52ab4，ab12.又|AC|2|ab|2a22abb2142ab6，|AC|6，即 AC 6.答案 随堂水平达标 1已知|a|2 3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 30，则以向量 a，b 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A10 B 10C2 D22答案 C答案 解析 以向量 a，b 为邻边的平行四边形的对角线为 ab 与 ab.|ab|ab2a22abb21222 32 32
9、 4 282 7，|ab|ab2 a22abb21222 32 32 42.解析 2已知 A，B，C，D 四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A梯形B菱形C矩形D正方形解析 由题意得AB(3,3)，DC(2,2)，ABDC，|AB|DC|.故选 A解析 答案 A答案 3平面上有三个点 A(2，y)，B0，y2，C(x，y)(x0)，若ABBC，则满足条件的 x，y 的关系式是_解析 AB2，y2y 2，y2，BCx，yy2 x，y2，ABBC2xy240，y28x(x0)解析 答案 y28x(x0)答案 4在矩形 ABCD 中，边 AB，AD 的长分
10、别为 2,1.若 M，N 分别是边 BC，CD 上的点，且满足|BM|BC|CN|CD|，则AM AN的取值范围是_答案 1,4答案 解析 解法一：设|BM|BC|CN|CD|(01)，则BM BCAD，DN(1)DC(1)AB，则AM AN(ABBM)(AD DN)(ABAD)AD(1)ABABAD(1)AB 2AD 2(1)ABAD.ABAD 0，AM AN43.01，1AM AN4，即AM AN的取值范围是1,4解析 解法二：如图所示，以点 A 为坐标原点，以边 AB 所在直线为 x 轴，边 AD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系因为 AB2，AD1，所以 A(0,0)，B(2，0
11、)，D(0,1)，C(2，1)设|BM|BC|CN|CD|t0,1，则|BM|t，|CN|2t.则 M(2，t)，N(22t,1)，故AM AN44tt43t，又 t0,1，所以(AM AN)max4304，(AM AN)min4311.故AM AN的取值范围是1,4解析 5如图，在OACB 中，BD13BC，OD 与 BA 相交于点 E.求证：BE14BA证明 O，E，D 三点共线，向量OE 与向量OD 共线则存在实数 1，使得OE 1OD.而OD OB BD OB 13OA，则OE 1OB 13OA.答案 又A，E，B 三点共线，BE与BA共线，则存在实数 2，使BE2BA2(OA OB)BE2OA 2OB.而OB BEOE，OB 2OA 2OB 1OB 13OA.即(12)OB 2OA 1OB 13OA.OA 与OB 不共线，121，213，214.BE14BA，即 BE14BA答案 课后课时精练
