1、第一节 函数及其表示 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第一节 函数及其表示 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1函数与映射的概念函数 映射 两集合A、B 设A、B是两个非空_ 设A、B是两个非空_ 对应关系f：AB 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的_元素x，在集合B中都有_的元素y和它对应 如果按照某种对应法则f，对于A中的_元素，在B中都有_的元素与之对应 名称 称这样的对应为从A到B的一个函数 这样的对应叫做集合A到集合B的映射 记法 yf(x)，xA f：AB 数集集合每一个惟一任意一个惟一2.函数的三要素_、_、_3函数的表示方法表示函数的常用方法有：_、_和_4
2、分段函数在定义域内不同部分上，有不同的_，这样的函数通常叫做分段函数定义域值域对应关系列表法解析法图象法解析表达式思考感悟函数与映射的异同点是什么？提示：映射f：AB，其中A、B是两个“非空集合”；而函数yf(x)，其定义域A为“非空的数集”，其值域也是数集，所以，函数是数集到数集的映射，由此可见，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射1“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是_课前热身 答案：2下
3、列函数中，与 yx 相等的函数是_y x2，y(x1)21，yx2x，y x2x x00 x0 x2|x|x0.答案：3已知 f(x)x1，x1，x3，x1，则 ff(52)_.答案：124设Mx|2x2，Ny|0y2，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是_答案：考点探究挑战高考 考点突破 函数的基本概念 1函数关系的判断要注意“任意”、“都有”、“惟一确定”等关键词2构成函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，而值域由定义域和对应法则可以确定分析判断两函数是否为同一个函数时，就从这三个方面进行分析，只有三者完全相同时才为同一个函数以下给出的同组函数中，是否表示同一个函数
4、？为什么？(1)f1：yxx；f2：y1.(2)f1：y|x|；f2：yx，x0，x，x0.(3)f1：y1，x1，2，1x2，3，x2；例1f2：(4)f1：y2x；f2：如图所示，过O(0,0)与A(1,2)的直线x x1 1x2 x2 y 1 2 3【思路分析】(3)中分别用解析法和列表法表示函数，(4)中分别用解析法和图象法【解】(1)不同函数f1(x)定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为R.(2)不同函数f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为xR|x0(3)同一个函数x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一个函数的不同表示方式(4)同一个函数理由同(3)求函数的解析
5、式 求函数的解析式时，要根据类型采用相应的方法，常用的方法是待定系数法、换元法及凑配法(1)若 f(x 1)2x2 1，则 f(x)_；(2)若 2f(x)f(x)x1，则 f(x)_；(3)若函数 f(x)xaxb，f(2)1，又方程 f(x)x有惟一解，则 f(x)_.例2【思路分析】(1)中令x1t，可使f(x1)f(t)，进而求f(x)，(2)中以“x”换“x”，联立原式解f(x)，(3)构造出方程，“有惟一解”即为解a或b的条件【解析】(1)令 tx1，则 xt1，f(t)2(t1)212t24t3，f(x)2x24x3.(2)2f(x)f(x)x1，用x 去替换式子中的x，得2f(
6、x)f(x)x 1，即 有2fxfxx12fxfxx1，解方程组消去 f(x)，得 f(x)x31.(3)由 f(2)1 得22ab1，即 2ab2；由 f(x)x 得xaxbx，变形得 x(1axb1)0，解此方程得 x0 或 x1ba，又方程有惟一解，1ba 0，解得 b1，代入 2ab2 得 a12，f(x)2xx2.【答案】(1)2x24x3(2)x31(3)2xx2【名师点评】(1)第一个题目所用的方法通常称为换元法，这是中学数学中一个基本的数学方法，随着学习的深入我们会逐步体会这个方法应用的广泛性，换元法在求函数解析式时主要就是用一个字母代替已知条件 f(x)中的(x)达到求出 f
7、(x)的目的；(2)第二个题目所用的方法通常称为“对偶法”或“方程组法”，常常用来求同时含有 f(x)、f(x)或同时含有 f(x)、f(1x)等的函数解析式；(3)第三个题目中，给出了解析式的形式，只要将条件代入即可，本小题的关键是有惟一解这一条件的处理方法，解题时应注意体会，这种方法通常称为待定系数法分段函数 分段函数根据 x 的取值不同而分段，因而解决问题按分段进行已知函数 f(x)11x x1x21 1x12x3 x1例3(1)求 f(1121)，fff(2)的值；(2)求 f(3x1)；(3)若 f(a)32，求 a.【解】(1)f(1121)f(2)2 23.fff(2)ff(1)
8、f(2)32.(2)当 3x11，即 x23时，f(3x1)113x1 3x3x1；当13x11，即 0 x23时，f(3x1)(3x1)219x26x2；当 3x11，即 x0 时，f(3x1)2(3x1)36x1.综上所述，f(3x1)3x3x1，x239x26x2，0 x236x1.x0.(3)若 a1，则 11a32，解得 a2；若1a1，则 a2132.解得 a 22；若 a1，则 2a332.解得 a34，与 a1 矛盾综上可得：若 f(a)32，则 a2 或 22.【名师点评】解决分段函数的有关问题关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题变式
9、训练 2 设 f(x)12(x|x|)，g(x)x，x0 x2，x0，则 fg(x)_.解析：当 x0 时，fg(x)12g(x)|g(x)|12(xx)0；当 x0 时，fg(x)12(x2|x2|)12(x2x2)x2.故 fg(x)0，x0，x2，x0.答案：0，x0 x2，x0方法感悟 方法技巧1判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应法则是否相同(1)定义域和对应法则都相同，则两个函数表示同一函数(2)定义域不同，则两个函数不表示同一函数(3)对应法则不同，则两个函数不表示同一函数(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为定义域、值域不能惟
10、一地确定函数的对应法则(5)两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关2求f(x)解析式的方法比较多，如换元法、配方法、待定系数法换元法求f(x)是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的范围3对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体，对于分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式4对于抽象函数的求值问题，一般都用赋值法失误防范1判断两个函数是否相同不仅需要解析式相同，还需要定义域相同2求函数解析式时不要忽略了定义域考向瞭望把脉高考 考情分析 本节主要是通过知识的交汇与链接，考函数的概念、解析式等基本知识对函数概念的考查集中在理解上，如“对应”的理解，
11、以及等号形式的认识对定义域的考查主要是常见的函数求定义域，较为简单而分段函数主要是考查函数值的形式，较难的题目可以涉及一些函数的性质，如涉及周期性、对称性等预测2012年江苏高考在本部分主要以函数的概念、定义域、分段函数为考查的主要目标，题目应较为容易(2010 年高考陕西卷)已知函数 f(x)3x2，x1，x2ax，x1，若 f(f(0)4a，则实数 a_.例【解析】f(0)3022，f(f(0)f(2)42a4aa2.【答案】2真题透析【名师点评】分段函数要据“段”论答，本题中符号“f(f(0)”代表了函数符号的一种考查方式，即“f(0)”可作为外层“f”符号的自变量的取值，由内向外依次确
12、定 x 的取值，再对应函数的解析式求解此类问题重在对函数符号的理解和认识上，明确了表达含义，再根据分段函数求解，分段讨论，化整体问题为局部问题1函数 yxax|x|(a1)的图象的大致形状是_名师预测 解析：当 x0 时，函数 yxax|x|(a1)变为 yax(a1)，在(0，)上单调递增；当 x0 时，函数 yxax|x|(a1)变为 yax(a1)，在(，0)上单调递减答案：2设 f(x)2x2，x2，log2x1，x2，则 f(f(5)_解析：f(5)log2(51)2，f(f(5)f(2)2221.答案：13已知定义域为R的函数f(x)满足ff(x)x2xf(x)x2x，若f(2)3，f(0)a，则f(1)_，f(a)_.解析：在定义域中，令x2，则有ff(2)222f(2)222，又由f(2)3，得f(3222)3222，f(1)1.又f(0)a，则f(a020)a020，即f(a)a.答案：1 a4.如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f(1f3)的值等于_解析：f(1f3)f(1)2.答案：2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
