1、课时规范练44空间几何中的向量方法基础巩固组1.若直线l的方向向量与平面的一个法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于()A.120B.60C.30D.60或302.两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.32B.22C.3D.323.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=5,平面ABCD平面PAD,M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是()A.55B.255C.8585D.885854.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,
2、且PA平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角C-BF-D的正切值为()A.36B.34C.33D.2335.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面所成角的正弦值为.6.(2020黑龙江伊春三中模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为.7.在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BCAD,ADC=90,BC=CD=12AD=1,PA=PD,E,F分别为AD,PC的中点.(1)略;(2)若PE=E
3、C,求二面角F-BE-A的余弦值.8.(2020浙江余姚中学模拟)如图所示,菱形ABCD中,ABC=60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,AB=AE=2.(1)求证:BD平面ACFE;(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时,求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小.综合提升组9.已知在正四面体A-BCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A.32B.23C.12D.3310.(2020湖北十堰调研)如图,在三棱锥P-ABC中,M为AC的中点,PAPC,ABBC,AB=BC,PB=2,AC=2,PAC=30.(1)证明:BM平面PAC;(2)求二面
4、角B-PA-C的余弦值.11.已知空间几何体ABCDE中,BCD与CDE均为边长为2的等边三角形,ABC为腰长为13的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.(1)略;(2)求直线BE与平面AEC所成角的正弦值.12.(2020江苏,22)在三棱锥A-BCD中,已知CB=CD=5,BD=2,O为BD的中点,AO平面BCD,AO=2,E为AC的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=14BC,设二面角F-DE-C的大小为,求sin 的值.创新应用组13.(2020河南重点中学联考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,平面
5、PAD平面ABCD,PAD是边长为4的等边三角形,BCPB,E是AD的中点.(1)求证:BEPD;(2)若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为154,求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.参考答案课时规范练44空间几何中的向量方法1.B设直线l与平面所成的角为,直线l与平面的法向量的夹角为.则sin=|cos|=|cos120|=12.又因为090,所以=30.2.B两平面的一个单位法向量n0=-22,0,22,故两平面间的距离d=|OAn0|=22.3.D以O为原点,分别以OA,AB,OP为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.由题可知O(0,0,0),P(0,0,
6、2),B(1,2,0),C(-1,2,0),则OP=(0,0,2),OC=(-1,2,0),M是PC的中点,M-12,1,1,BM=-32,-1,1.设平面PCO的一个法向量n=(x,y,z),直线BM与平面PCO所成角为,则nOP=2z=0,nOC=-x+2y=0,可取n=(2,1,0),sin=|cos|=|BMn|BM|n|=41745=88585.故选D.4.D如图所示,设AC与BD交于点O,连接OF.以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设PA=AD=AC=1,则BD=3,所以O(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0
7、,12,0,OC=0,12,0,易知OC为平面BDF的一个法向量,由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3).所以cos=217,sin=277,所以tan=233.故二面角C-BF-D的正切值为233.5.23834由题意,得直线l与平面所成角的正弦值为|an|a|n|=71417=23834.6.35设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),B1F=(1,-3,-1),E
8、F=12,-32,1,GF=(1,0,-1).设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),则EFn=0,GFn=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,则z=1,y=3,故n=(1,3,1)为平面GEF的一个法向量,所以|cos|=|1-3-1|55=35,所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为35.7.解由题意可知PE平面ABCD,BEAD,如图所示,PE=EC=ED2+DC2=2,以E为原点,EA,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),F-12,12,22.平面ABE法向量可取n=(0,0,1),平面F
9、BE中,EB=(0,1,0),EF=-12,12,22.设平面FBE的一个法向量为m=(a,b,c),则mEB=0,mEF=0,即b=0,-12a+12b+22c=0.取c=1,得m=(2,0,1),cos=13=33.由图得二面角F-BE-A的平面角为钝角,所以二面角F-BE-A的余弦值为-33.8.(1)证明因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC.因为AE平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDAE.又因为ACAE=A,所以BD平面ACFE.(2)解以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,过点O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向),建立空间直角坐标系,则B(0,3,0),D(0
10、,-3,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a0),OF=(-1,0,a).设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),则有nOB=0,nOE=0,即3y=0,x+2z=0,令z=1,则n=(-2,0,1),由题意得sin45=|cos|=|OFn|OF|n|=|2+a|a2+15=22,解得a=3或a=-13(舍去).所以OF=(-1,0,3),BE=(1,-3,2),cos=-1+6108=54,故异面直线OF与BE所成角的余弦值为54.9.B作AO平面BCD于点O,则O是BCD的中心,以O为坐标原点,直线OD为y轴,直线OA为z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AB=2,则O(0,
11、0,0),A0,0,263,C1,-33,0,E0,33,63,OA=0,0,263,CE=-1,233,63,cos=OACE|OA|CE|=432633=23.CE与平面BCD的夹角的正弦值为23.10.(1)证明因为PAPC,ABBC,所以MP=MB=12AC=1,又MP2+MB2=BP2,所以MPMB.因为AB=BC,M为AC的中点,所以BMAC,又ACMP=M,所以BM平面PAC.(2)解取MC的中点O,连接PO,取BC的中点E,连接EO,则OEBM,从而OEAC.因为PAPC,PAC=30,所以MP=MC=PC=1.又O为MC的中点,所以POAC.由(1)知BM平面PAC,OP平面
12、PAC,所以BMPO.又BMAC=M,所以PO平面ABC.以O为坐标原点,OA,OE,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由题意知A32,0,0,B12,1,0,P0,0,32,BP=-12,-1,32,BA=(1,-1,0),设平面APB的法向量为n=(x,y,z),则nBP=-12x-y+32z=0,nBA=x-y=0,令x=1,得n=(1,1,3)为平面APB的一个法向量,易得平面PAC的一个法向量为m=(0,1,0),cos=55,由图知二面角B-PA-C为锐角,所以二面角B-PA-C的余弦值为55.11.解(2)以CD中点O为坐标原点,OD所在直线为x轴
13、,OB所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.C(-1,0,0),E(0,0,3),B(0,3,0),A-12,32,23,BE=(0,-3,3),设n=(x,y,z)平面AEC,则nCE=x+3z=0,nEA=-12x+32y+3z=0,令z=1,得n=(-3,-3,1).设直线BE与平面AEC所成角为,则sin=|cos|=43613=22613.即所求角的正弦值为22613.12.解(1)连接OC,因为CB=CD,O为BD中点,所以COBD.又AO平面BCD,所以AOOB,AOOC.以OB,OC,OA为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为BD=2,CB=CD=5,AO
14、=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因为E为AC的中点,所以E(0,1,1).则AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以|cos|=|ABDE|AB|DE|=|1+0-2|53=1515.因此,直线AB与DE所成角的余弦值为1515.(2)因为点F在BC上,BF=14BC,BC=(-1,2,0).所以BF=14BC=-14,12,0.又DB=(2,0,0),故DF=DB+BF=74,12,0.设n1=(x1,y1,z1)为平面DEF的一个法向量,则DEn1=0,DFn1=0,即x1+y1+z1=0,74x1+12y1=0,取x1=2,得
15、y1=-7,z1=5,所以n1=(2,-7,5).设n2=(x2,y2,z2)为平面DEC的一个法向量,又DC=(1,2,0),则DEn2=0,DCn2=0,即x2+y2+z2=0,x2+2y2=0,取x2=2,得y2=-1,z2=-1,所以n2=(2,-1,-1).故|cos|=|n1n2|n1|n2|=|4+7-5|786=1313.所以sin=1-cos2=23913.13.(1)证明因为PAD是等边三角形,E是AD的中点,所以PEAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PE平面PAD,所以PE平面ABCD,所以PEBC,PEBE.又BCPB,PBPE=P,所以BC
16、平面PBE,所以BCBE.又BCAD,所以ADBE.又ADPE=E,且AD,PE平面PAD,所以BE平面PAD,所以BEPD.(2)解由(1)得BE平面PAD,所以BAE就是直线AB与平面PAD所成的角.因为直线AB与平面PAD所成角的正弦值为154,即sinBAE=154,所以cosBAE=14.所以cosBAE=AEAB=2AB=14,解得AB=8,则BE=AB2-AE2=215.由(1)得EA,EB,EP两两垂直,所以以E为坐标原点,EA,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P(0,0,23),A(2,0,0),D(-2,0,0),B(0,215,0),C(-4,215,0),所以PB=(0,215,-23),PC=(-4,215,-23).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),由PBm=0,PCm=0,得215y-23z=0,-4x+215y-23z=0,解得x=0,z=5y.令y=1,可得平面PBC的一个法向量为m=(0,1,5).易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0),设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为,则cos=mn|m|n|=66.所以平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为66.
