1、解密10 等差数列、等比数列考点热度 内容索引核心考点1 等差数列、等比数列的基本运算核心考点2 等差数列、等比数列的判定与证明核心考点3 等差数列、等比数列的性质核心考点4 等差数列与等比数列的综合核心考点5 等差数列与等比数列的创新问题 高考考点三年高考探源预测等差数列2021全国甲卷文理182021全国乙卷理192020新课标全国II 32020新课标全国II 142019新课标全国 182019新课标全国14从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项
2、和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.等比数列2021全国甲卷理72021全国甲卷理92020新课标全国172020新课标全国 102019新课标全国 142019新课标全国II 182019新课标全国6等差数列与等比数列的综合2021全国乙卷文192020新课标全国 16核心考点一 等差数列、等比数列的基本运算考法 等差数列、等比数列的基本运算变式一 等差数列基本量的计算1、（2022河南洛阳一模（文）已知数列是等差数列，且，则其前七项和（ ）A42B35C28D21【答案】C【分析】结合已知条件
3、，利用等差数列的性质求出，然后利用等差数列的前项和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质以及可知，即，从而.故选：C.2、（2021广东天河高二期末）莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ）A30B40C50D60【答案】C【分析】根据题意得到递增等差数列中，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则所以解得所以最大项.故选：C变式二 等比数列基本量的计算1、（2021云南高三期
4、中（理）已知正项递增等比数列中，则（ ）ABCD【答案】C【分析】等比数列的性质可得，再由，可求出的值，从而可求出，进而可求得【详解】因为递增等比数列中，所以，又，解得或（舍去）， 所以，所以，故选：C2、（2022全国高三专题练习）在等比数列中，如果，那么（ ）ABCD【答案】C【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.【详解】由等比数列性质知，成等比数列，其首项为，公比为，所以.故选：C.技巧点拨等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思
5、路：（1）设基本量a1和公差d(公比q)（2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量核心考点二 等差数列、等比数列的判定与证明考法 等差数列、等比数列的判定与证明变式一 等差数列的判定与证明1、（2022山西怀仁高二期末（理）设为数列的前n项和，且.（1）证明，数列为等差数列；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据与的关系，求得，即可得到答案；（2）求出，再利用错位相减求和，即可得到答案；（1），整理得，两边同时除以得，首项，是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）得，即，当时，当时，
6、也满足上式，数列的通项公式为，令数列的前n项和为则，两边同时乘以2，得，得：.技巧点拨等差数列的判定与证明的方法：定义法：或是等差数列；定义变形法：验证是否满足；等差中项法：为等差数列；通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；前n项和公式法：为常数为等差数列注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法变式二 等比数列的判定与证明1、（2021湖北武汉市第三中学高二阶段练习）已知数列的前n项和为Sn，满足（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围【答案
7、】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转化为，解不等式即可.（1）-得，即，变形可得，又，得故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，.（2）令，则当或时，当时，又，因为不等式对任意的正整数恒成立，解得.技巧点拨等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：为常数且数列是等比数列（2）等比中项法：数列是等比数列（3）通项公式法：数列是等比数列（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择
8、题、填空题中注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.核心考点三 等差数列、等比数列的性质考法 等差数列、等比数列的性质变式一 等差数列性质的应用 1、（2022海南华侨中学高二期末）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据等差数列的下标性质将式子化为，再化为，进而得到，最后根据条件求得答案.【详解】由题意，.故选：C.2、（2022广西鹿寨县鹿寨中学高二阶段练习（文）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）AB2C3D【答案】C【分析】
9、利用等差数列的求和公式结合已知条件可求出，再利用等差数列的性质可求得答案【详解】因为等差数列中，所以，所以.故选：C变式二 等比数列性质的应用1、（2022全国高三专题练习）已知函数f(x)(xR)，若等比数列an满足a1a20201，则f(a1)f(a2)f(a3)f(a2020)等于（ ）A2 020B1 010C2D【答案】A【分析】由，并结合等比数列性质可得f(a1)f(a2020)=f(a2)f(a2019)=f(a1010)f(a1011)，进而可求f(a1)f(a2)f(a3)f(a2020)的值.【详解】a1a20201，f(a1)f(a2020)2.an为等比数列，则a1a2
10、020a2a2019a1010a10111，f(a2)f(a2019)2，f(a1010)f(a1011)2，即f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 020)210102020.故选：A2、（2021全国模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，与为方程的两根，则的值为（ ）A0B5C10D16【答案】B【分析】直接利用等比数列的性质及根与系数的关系得到结果.【详解】由等比数列的性质及根与系数的关系得而由等比数列的性质知，所以，即又，所以，故选：B技巧点拨等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.
11、应用等差数列性质的注意点：（1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.（2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列an的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立.应用等比数列性质时的注意点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mn=pq，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度（2）在应用相应
12、性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.核心考点四 等差数列与等比数列的综合考法 等差数列与等比数列的综合1、（2022海南高二期末）已知数列满足且，则（ ）A是等差数列B是等比数列C是等比数列D是等比数列【答案】D【分析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.【详解】由，可得，所以，又由，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选：D.2、（2021河南高二阶段练习（理）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，则的值是（ ）ABCD58【答案】A【分析】由已
13、知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，依次成等比数列，所以有，即，整理得，因为，所以，因此，故选：A.核心考点五 等差数列与等比数列的创新问题考法 等差数列与等比数列的创新问题变式一 等差数列与等比数列的新定义问题1、（2021山西平陆中学高二开学考试）若数列满足(，为常数)，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，且，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据“调和数列”的定义可得，进而可得是等差数列，由等差数列的求和公式可得的值，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】因为数列为“调和数列”，所以， 所以是等差数列，所以，可得，
14、由等差数列的性质可得，故选：B.数列新定义型创新题的一般解题思路：（1）阅读审清“新定义”；（2）结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识；(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论变式二 等差数列与等比数列的文化背景问题1、（2022全国高三专题练习）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数
15、列的第8项为（ ）A99B131C139D141【答案】D【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D2、（2021江西南昌市第三中学高三阶段练习（理）已知数列的通项，我们把使为整数的叫做优数，则在内所有优数的和为（ ）A1024B2012C2026D2036【答案】C【分析】根据题意，得到，要使得为整数，得到，找出在内的的值，结合分组求和，即可求解.【详解】由题意，因为，可得，若要使得为整数，得到，即，所以在内所有的整数为，所以所有“优数”的和为.故选：C.
