1、提能拔高限时训练22 向量及向量的基本运算一、选择题1.给出下列命题:零向量是唯一没有方向的向量;平面内的单位向量有且仅有一个;a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向相同的向量;相等的向量必是共线向量.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：向量是既有大小又有方向的量,所以零向量必有方向,又规定零向量与任一向量平行,所以零向量是唯一的一个方向不确定的向量,故命题是错误的;对平面内的任一向量a而言,由于,即是一个单位向量.由a的任意性,可知命题是错误的;共线向量即平行向量,包括方向相同的或方向相反的非零向量及零向量,故命题也是错误的;由于相等向量是长度相等且方向
2、相同的向量,可知命题正确.答案：A2.设a、b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是（ ）A. B.C. D.解析：=-8a-2b=2(-4a-b).答案：B3.设O为ABC的外心,平面上一点P使,则点P是ABC的( )A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心解析：由,得,以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC,如右图.O为ABC的外心,OB=OC.四边形OBDC为菱形.ODBC，且.APBC.同理,BPAC,P为垂心.答案：C4.设平面内有四边形ABCD和点O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d，则四边形ABCD为（ ）A.菱形 B.梯形 C.矩
3、形 D.平行四边形解析：由a+c=b+d得a-b=d-c，即，即四边形ABCD为平行四边形.答案：D5.已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且,那么( )A. B.C. D.解析：O是ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且.,即.答案：A6.过ABC的重心任意作直线分别交AB、AC于D、E两点,若,xy0,则的值为( )A.4 B.3 C.2 D.1解析：方法一(特殊位置法):当直线DE与BC平行时,由相似性质,得,故.方法二(利用共线向量基本定理):如图,设重心为G,=a,=b,则,.,即.答案：B7.已知向量e10,R,a=e1+e2,b=2e1,若向量a与向量b共线,则( )
4、A.=0 B.e2=0 C.e1e2 D.e1e2或=0解析：a与向量b共线,则e1+e2=2me1(mR),即e2=(2m-1)e1,e1e2或=0.答案：D8.判断下列各命题的真假:(1)向量的长度与向量的长度相等;(2)向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;(3)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;(4)两个有公共终点的向量,一定是共线向量;(5)向量与向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一直线上;(6)有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5解析：(1)真命题;(2)假命题,若a与b中有一个为0时,其方向不确定;(3
5、)真命题;(4)假命题,起点的位置不确定;(5)假命题,共线向量所在直线可以重合,也可以平行;(6)假命题,向量可以用有向线段来表示,并不是有向线段.答案：C9.若O为ABC所在平面内一点，且满足，则ABC的形状是( ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析：，.,即以AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,则这个平行四边形为矩形.ABAC,即ABC为直角三角形.答案：B10.向量a和b的夹角的平分线上的单位向量是（ ）A.a+b B. C. D.解析：与向量a,b同方向的单位向量分别为,则为a和b夹角平分线上的向量,它与|b|a+|a|b共线,除以它
6、的模|b|a+|a|b|可得a,b夹角平分线方向的单位向量.答案：D二、填空题11.已知=a,=b,如图,C、D是AB的三等分点,则_,_.解析：如图,.同理.答案： 12.已知平面上三点A、B、C满足,则的值等于_.解析：由于，,即可求值.答案：-2513.向量a与b满足|a|=2,|a+b|=3,|a-b|=3,则|b|=_.解析：设=a,=b,以OA、OB为邻边作OADB,则=a+b,=a-b,|a+b|=|a-b|,四边形OADB为矩形.,.答案：14.l1、l2是不共线向量,且a=-l1+3l2,b=4l1+2l2,c=-3l1+12l2,若b、c为一组基底,则a=_.解析：设a=1
7、b+2c,即-l1+3l2=1(4l1+2l2)+2(-3l1+12l2),即-l1+3l2=(41-32)l1+(21+122)l2.解得,.故.答案：三、解答题15.如图,四边形OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形.又,试用a,b表示,.解：,.,.16.设a,b是两个不共线的非零向量,若a与b起点相同,tR,则t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直线上?解：设a-tb=a-(a+b)(R),化简整理,得,a与b不共线,由平面向量基本定理有故时,a,tb,(a+b)的终点在一条直线上.数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线
8、分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,，则m+n的值为_.解析：由题意，设,则,又O是BC的中点，因此,即,由此消去,得,化简整理，得m+n=2.答案：2【例2】已知a=(1,2),b=(3,2),且|(ka+b)-(a-3b)|=|ka+b|+|a-3b|,求实数k的值.解法一：由题意,知a、b不共线.由条件|(ka+b)-(a-3b)|=|ka+b|+|a-3b|,可得ka+b与a-3b方向相反,当(ka+b)(a-3b)时,.此时,ka+b=a+b=(a-3b).ka+b与a-3b方向相反.解法二：由题意,知ka+b=(k+3,2k+2),a-3b=(-8,-4),则,|(ka+b)-(a-3b)|=|(k+11,2k+6)|.代入等式，得,化简，得9k2+6k+1=0,代入检验等式成立.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
