1、第三章3.2 导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在区间(a，b)上_f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)xsin x在R上是增函数.()1.f(x)是f(x)的导函数，若f
2、(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是由f(x)的图象知，当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增.2.函数f(x)(x2)ex的单调递增区间为_.f(x)的定义域为R，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(1，)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(1，).(1，)4f(x)x23xa，且f(x)的单调递减区间为1,4，f(x)x23xa0的解集为1,4，1,4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1(1)函数f(x)x22ln x的单调递
3、减区间是A.(0,1)B.(1，)C.(，1)D.(1,1)题型一不含参数的函数的单调性令f(x)0，得x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增.(1，)f(x)的定义域为(0，)，(x)在(0，)上单调递减，且(1)0，当x(0,1)时，(x)0，当x(1，)时，(x)0，解得0 x0，试讨论函数yf(x)的单调性.函数的定义域为(0，)，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增；延伸探究若将本例中参数a的范围改为aR，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？当a0时，讨论同上；当a0时，ax10；x(1，)时，f(
4、x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.(2)g(x)(xa1)ex(xa)2.g(x)的定义域为R，g(x)(xa)ex2(xa)(xa)(ex2)，令g(x)0，得xa或xln 2，当aln 2时，x(，ln 2)(a，)时，g(x)0，x(ln 2，a)时，g(x)0，g(x)在(，ln 2)，(a，)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减.当aln 2时，g(x)0恒成
5、立，g(x)在R上单调递增，当a0，x(a，ln 2)时，g(x)ln 2时，g(x)在(，ln 2)，(a，)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；当aln 2时，g(x)在R上单调递增；当a1的解集为_.f(x)exex2x1，定义域为R，当且仅当x0时取“”，f(x)在R上单调递增，又f(0)1，原不等式可化为f(2x3)f(0)，命题点2 根据函数的单调性求参数的范围教师备选由题意得f(x)ex(sin xa)excos x1a0，解得a1，即a1，).2.(2022株州模拟)若函数f(x)ax3x恰有3个单调区间，则a的取值范围为_.(，0)由f(x)ax3x，得f(x)3ax2
6、1.若a0，则f(x)0恒成立，此时f(x)在(，)上为增函数，不满足题意；根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为 增(减)函 数 的 充 要 条 件 是 对 任 意 的 x(a，b)都 有f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.思维升华跟踪训练3(1)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f(x)，且满足0，当m0时，下列关系中一定成立的是A
7、.f(1)f(3)2f(2)B.f(0)f(3)0C.f(4)f(3)2f(3)又m0，当x3时，f(x)0，f(x)单调递增；当x3时，f(x)f(3)，f(4)f(3)，所以f(2)f(4)2f(3).(2)(2022安徽省泗县第一中学质检)函数f(x)在(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围为_.0，e1由f(x)0得0 xe，由f(x)e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，解得0ae1.K E S H I J I N G L I A N 课时精练基础保分练123456789101112131415161.函数f(x)xln x1的单调递减区间是f(x)的定义
8、域为(0，)，f(x)1ln x，123456789101112131415162.已知函数f(x)x(exex)，则f(x)A.是奇函数，且在(0，)上单调递减B.是奇函数，且在(0，)上单调递增C.是偶函数，且在(0，)上单调递减D.是偶函数，且在(0，)上单调递增1234567891011121314151612345678910111213141516因为f(x)x(exex)，xR，定义域关于原点对称，且f(x)x(exex)x(exex)f(x)，所以f(x)是偶函数，当x0时，f(x)exexx(exex)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.3.(2022长沙调研)已知函数yx
9、f(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中yf(x)的图象大致是1234567891011121314151612345678910111213141516列表如下：故函数f(x)的单调递增区间为(，1)，(1，)，单调递减区间为(1,1).故函数f(x)的图象是C选项中的图象.x(，1)(1,0)(0,1)(1，)xf(x)f(x)f(x)单调递增单调递减 单调递减 单调递增4.(2022深圳质检)若函数f(x)x24xbln x在区间(0，)上是减函数，则实数b的取值范围是A.1，)B.(，1C.(，2 D.2，)123456789101112131415
10、1612345678910111213141516f(x)x24xbln x在(0，)上是减函数，f(x)0在(0，)上恒成立，即b2x24x，2x24x2(x1)222，b2.123456789101112131415165.(多 选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1x2)都有0，则称函数yf(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是A.f(x)exB.f(x)x2C.f(x)ln xD.f(x)sin x12345678910111213141516依题意，函数g(x)xf(x)为定义域上的增函数.对于A，g(x)xex，g(x)(x1)ex，当x(，1)时，g(
11、x)0，g(x)在(，1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)xln x，g(x)1ln x，故C中函数不是“F函数”；12345678910111213141516对于D，g(x)xsin x，g(x)sin xxcos x，故D中函数不是“F函数”.6.(多选)(2022河北衡水中学月考)下列不等式成立的是12345678910111213141516所以当0 x0，函数f(x)单调递增；当xe时，f(x)0，函数f(x)单调递减.12345678910111213141516即2ln ln 2，故选项A正确；1
12、2345678910111213141516因为e4f(5)，即5ln 44ln 5，故选项C不正确；因为ef()，即eln，故选项D正确.123456789101112131415167.(2022长沙市长郡中学月考)已知函数f(x)x3mx2nx1的单调递减区间是(3,1)，则mn的值为_.2由题设，f(x)x22mxn，由f(x)的单调递减区间是(3,1)，得f(x)0；f(x)是奇函数.12345678910111213141516f(x)x4(答案不唯一，f(x)x2n(nN*)均满足)12345678910111213141516f(x)4x3，x0时有f(x)0，满足，f(x)4
13、x3的定义域为R，又f(x)4x3f(x)，故f(x)是奇函数，满足.9.已知函数f(x)x22aln x(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；1234567891011121314151612345678910111213141516当a1时，当0 x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，即a2，当x(，0)(2a，)时，f(x)0；若2a0，即a2，f(x)0；若2a2，12345678910111213141516当x(，2a)(0，)时，f(x)0.综上有当a2时，f(x)在(，2a)，(0，)上单调递减，在(2a,0)上单调递增；当a2时，f(x
14、)在R上单调递减；当a1，所以a的取值范围是(1，).1234567891011121314151612.(2022南京师范大学附属中学月考)设函数f(x)cos x x2，若af()，bf(log52)，cf(e0.2)，则a，b，c的大小关系为A.bacB.cabC.bcaD.abc12345678910111213141516由题意可知，所以函数f(x)为偶函数，所以af()f(log32)f(log32)，又f(x)sin xx，12345678910111213141516因为0log52log321，所以由单调性可得ba0，14.(2022丽水模拟)设函数f(x)ln(xa)x2.
15、若f(x)为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为_.1234567891011121314151612345678910111213141516f(x)为定义域上的单调函数，f(x)0恒成立或f(x)0恒成立，又f(x)ln(xa)x2的定义域为(a，)f(x)0恒成立，即f(x)min0.12345678910111213141516拓展冲刺练1234567891011121314151615.(2022景德镇模拟)设函数f(x)sin xexexx，则满足f(x)f(53x)0，所以f(x)在R上单调递增，所以由f(x)f(53x)0，得f(x)0，求f(x)的单调区间；1234567891011121314151612345678910111213141516f(x)的定义域为x|x0，a0，当x(，0)(0,1)时，f(x)0，f(x)的单调递减区间为(，0)，(0,1)，单调递增区间为(1，).1234567891011121314151612345678910111213141516x1，x21,3，x1x2，即函数g(x)f(x)2x在区间1,3上单调递减，12345678910111213141516当x1时，不等式可化为20显然成立；1234567891011121314151612345678910111213141516
