1、第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹角 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角(重点、难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1直线和平面所成的角 900射影课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示 不是直线和平面的夹角为2s，n.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探
2、新知合作探究攻重难返首页2最小角定理射影最小的角课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页1思考辨析(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角()(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角()(3)直线与平面的夹角的范围是0，90()基础自测提示(1)角的度数还可以是零度(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量，若 cosm，n12，则直线 l 与平面 所成的角为()A30 B60 C120 D150A 由 cosm，n12，得m，n120直线 l 与平面 所成的角为|90120|30.
3、课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如图 3-2-19 所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 CC1的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为()【导学号：33242296】图 3-2-19A6B3 C2 D56课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页B 以 D 为原点，DA，DC，DD1 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E0，1，12，所以DB(1,1,0)，DE 0，1，12，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探
4、新知合作探究攻重难返首页易得平面 BDE 的法向量 n(1，1,2)，而BA1(0，1,1)，cosn，BA1 122 3 32，n，BA1 6.直线 A1B 与平面 BDE 所成角为26 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难用向量求直线与平面所成的角 已知三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PAAC12AB，N 为 AB 上一点，AB4AN，M，S 分别是 PB，BC 的中点(1)证明：CMSN；(2)求 SN 与平面 CMN 所成的角的大小图 3-2-20课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究
5、 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算CM，SN的数量积，证明(1)；求出平面 CMN 的法向量，求线面角的余弦，求得线面角课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 如图，设 PA1，以 A 为原点，直线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M1，0，12，N12，0，0，S1，12，0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)证明：CM 1，1，12，SN12，12，0，因为CM SN121200，所以 CMSN.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探
6、新知合作探究攻重难返首页(2)NC 12，1，0，设 a(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量由 aCM 0，aNC 0，得xy12z0，12xy0，令 x2，得 a(2,1，2)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页|cosa，SN|1123 22 22，SN 与平面 CMN 所成角为 45.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用向量法求线面角的步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB；(3)求平面的法向量 n；(4)计算：设线面角为，则 sin|nAB|n|AB|.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探
7、究攻重难返首页跟踪训练1如图 3-2-21 所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 是侧棱CC1 上的一点，CPm，试确定 m，使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2.图 3-2-21课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，解 建立如图所示的空间直角坐标系课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以BD(1，1,0)，BB1(0,0,1)，AP(1,1，m)，AC(1,1,0
8、)，又由ACBD 0，ACBB1 0，知AC为平面 BB1D1D 的一个法向量，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为.则 sin|APAC|AP|AC|22m2 222m2.cos 1sin2m2m2，依题意 2m 3 2，解得 m13，故当 m13时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页用定义法解决直线与平面的夹角问题1用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？提示 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影课时分层作业当堂达标固双基自主预
9、习探新知合作探究攻重难返首页2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？提示 若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为2；若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为 O，在直线上任取异于 O 点的另一点 P，过 P 作平面的垂线 PA，A 为垂足，则 OA 即为直线在平面内的投影，AOP 即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 如图 3-2-22 所示，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90.图 3-2-22(1)求证
10、：BC平面 PAC；(2)若 D 为 PB 的中点，试求 AD 与平面 PAC夹角的正弦值【导学号：33242297】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)证明 BC 和平面 PAC 内的两条相交直线垂直(2)作出 AD 在平面 PAC 内的射影后，构造三角形求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC.又BCA90，所以 ACBC，又 AC平面 PAC，PA平面 PAC，PAACA，所以 BC平面 PAC.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)取
11、 PC 的中点 E，连接 DE.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页因 D 为 PB 的中点，所以 DEBC，所以 DE平面 PAC.连接 AE，AD，则 AE 是 AD 在平面 PAC 内的投影，所以DAE 是直线AD 与平面 PAC 的夹角设 PAABa，在直角三角形 ABC 中因为ABC60，BCA90，所以 BCa2，DEa4，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页在直角三角形 ABP 中，AD 22 a，所以 sinDAEDEADa422 a 24.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(改变问法)若典
12、例条件不变，问题(2)改为：D 为 PB 上的一点，且 BD13PB，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由已知 BCAC，BCPA，ACPAA，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以 BC平面 PAC，BCPC，过 PB 的三等分点 D 作 DEBC，则 DE平面 PAC，连接 AE，AD，则DAE 为 AD 与平面 PAC 的夹角，不妨设 PAAB1，因为ABC60，所以 BC12，DE231213，PB 2，BD 23.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页在ABD 中 A
13、D2AB2BD22ABBDcos 4559，AD53，所以sinDAEDEAD1353 55.即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 55.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(改变问法)若典例的题(2)条件不变，求 AD 与平面 PBC 的夹角的正弦值，结果如何？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由(1)知 BC平面 PAC，所以平面 PAC平面 PBC.过 A 作 AEPC.所以 AE平面 PBC.连接 ED，则ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角设 PA2a，AB2a，所以 PB2 2a.故 AD 2a.课时分层作业当堂达标固
14、双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页在APC 中 AP2a，ACABsin 602a 32 3a，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以 PC 3a24a2 7a，设ACP，则 AEACsin ACAPPC 3a 2a7a2 37 a2 217a，所以 sinADEAEAD2 21a72a 427.即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 427.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算
15、”.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页运用公式cos cos 1cos 2求直线与平面所成的角 BOC 在平面 内，OA 是平面 的一条斜线，若AOBAOC60，OAOBOCa，BC 2a，求 OA 与平面 所成的角.【导学号：33242298】思路探究 根据定义或 cos cos 1cos 2 求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 法一：OAOBOCa，AOBAOC60，ABACa.又BC 2a，AB2AC2BC2.ABC 为等腰直角三角形课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页同理BOC 也为等腰直角三角形取 BC
16、 中点为 H，连接 AH，OH，AH 22 a，OH 22 a，AOa，AH2OH2AO2.AHO 为等腰直角三角形AHOH.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又AHBC，OHBCH，AH平面.OH 为 AO 在 平面内的射影，AOH 为 OA 与平面 所成的角在 RtAOH 中，sinAOHAHAO 22.AOH45.OA 与平面 所成的角为 45.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：AOBAOC60，OA 在 内的射影为BOC 的平分线，作BOC 的平分线 OH 交 BC 于 H.又 OBOCa，BC 2a，BOC90.故BOH45，
17、由公式 cos cos 1cos 2，得 cosAOHcosAOBcosBOH 22，OA 与平面 所成的角为 45.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作 AHBC 于H，进而证明 AH平面，从而证明 H 是点 A 在平面 内的射影解法二则灵活应用公式 cos cos 1cos 2 求线面角，也是常用的方法课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 3-2-23 所示，四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PD平面AB
18、CD.若PBC60，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.图 3-2-23课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由题意得CBD45，PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.cosPBCcos cosCBD，PBC60.即 cos 60cos cos 45，cos 22，45.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于()【导学号：33242299】A120 B60C30D以上均错C 设直线 l 与平面 所成的角为，则 s
19、in|cos 120|12，又090，30.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2若直线 l 与平面 所成角为3，直线 a 在平面 内，且与直线 l 异面，则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是()A0，23 B2，23 C3，23D3，2D 由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角为3，又 l、a 为异面直线，则所成角的最大值为2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为侧面 BCC1B1 的中心，则 AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为()A 33B12 C 66D 36C 取 BC
20、中点 M，连接 AM，OM，易知OAM 即为 AO 与平面 ABCD所成的角，可求得 sinOAM 66.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4若平面 的一个法向量 n(2,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a(1,2,3)，则 l 与 所成角的正弦值为_.【导学号：33242300】216 cosa，n an|a|n|122131149 411223146 216，所以l 与平面 所成角的正弦值为 216.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5如图 3-2-24 所示，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求 A
21、C1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值图 3-2-24课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 取 BC 中点 O，B1C1 中点 O1，连接 AO，OO1，则 AOOC，OO1平面 ABC，以 O 为坐标原点，OC，OA，OO1 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 A0，32 a，0，C1a2，0，2a，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页AC1 a2，32 a，2a.取 AB 中点 M，连接 CM，则 CMAB.平面 ABB1A1平面 ABC，CM平面 ABB1A1，CM 为平面 ABB1A1 的一个法向量课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页Ba2，0，0，Ma4，34 a，0.又Ca2，0，0，CM 34a，34 a，0.cosAC1，CM AC1 CM|AC1|CM|34a23a 32 a12.AC1 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值为12.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（二十四）点击上面图标进入 谢谢观看
