1、核心概念掌握 知识点一 向量与数量(1)向量：叫做向量(2)数量：称为数量01 既有大小又有方向的量02 只有大小没有方向的量知识点二 向量的表示具有方向的线段叫做有向线段它包含三个要素：称为向量的长度(或称模)01 起点、02 方向、03 长度07 向量的大小知识点三 向量的有关概念1向量与数量的区别(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|b|，也不能说 ab；(3)0 与 0 不同.0 表示数量，但 0 表示零向量，其中|0|0.2向量与有向线段区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有
2、起点、方向、终点三要素，因此这是两个不同的量联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段3共线向量与相等向量(1)共线向量的定义指的是非零向量的共线问题；(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同；(3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同特别注意：(1)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性(2)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方
3、向不一定相同1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量能比较大小()(2)向量的模是一个正实数()(3)单位向量的模都相等()(4)向量AB与向量BA是相等向量()2做一做(1)下列说法正确的是()A若|a|b|，则 abB若|a|b|，则 abC若 ab，则 a 与 b 共线D若 ab，则 a 一定不与 b 共线(2)如图，四边形 ABCD 中，ABDC，则必有()A.AD CBB.OA OCC.ACDBD.DO OB(3)ABC 是等腰三角形，则两腰上的向量AB与AC的关系是_(4)如图所示，四边形 ABCD 为正方形，BCE 为等腰直角三角形，图中与AB共线的向量有_；图中与A
4、B相等的向量有_；图中与AB模相等的向量有_；图中与EC相等的向量有_答案(1)C(2)D(3)模相等(4)DC，CD，BE，EB，AE，EA，BA DC，BEDC，CD，BA，BE，EB，DA，AD，CB，BC BD 答案 核心素养形成 题型一向量的有关概念例 1 下列说法正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小解析 A 项，不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，不正确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，不正确；C 项，向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，不正确；D
5、 项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确解析 答案 D答案 解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是 0；规定零向量与任意向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题给出下列命题：若向量 aAB，bBA，则|a|b|；若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相同或相反；若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量；以坐标平面上的定点 A 为起
6、点，所有单位向量的终点 P 的集合是以 A为圆心的单位圆其中正确的个数是_答案 3答案 解析 正确，由于|a|AB|AB，|b|BA|BAAB，因此有|a|b|.不正确，由单位向量的定义知，凡长度为 1 个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法不正确正确，因为|AB|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量正确，由于向量|AP|1，所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆上的一点反过来，若点 P 是以点 A 为圆心，1 为半径的单位圆上的任一点，则由于|AP|1，所以向量AP是单位向量，因此说法正确.解析 题型二向量的几何表示例 2 某人从 A 点出发向东走了 5
7、 米到达 B 点，然后改变方向按东北方向走了 10 2米到达 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求AD 的模解(1)作出向量AB，BC，CD 如图所示(2)由题意得，BCD 是直角三角形，其中BDC90，BC10 2米，CD10 米，所以 BD10 米ABD 是直角三角形，其中ABD90，AB5 米，BD10 米，所以 AD 521025 5(米)所以|AD|5 5米答案 向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点(2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c，表
8、示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从 A处出发向西迂回了 100 km 到达 B 地，然后又改变方向向北偏西 40走了 200 km 到达 C 地，最后又改变方向，向东突进 100 km 到达 D 处，完成了对蓝军的包围(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求|AD|.解(1)向量AB，BC，CD，如图所示答案 (2)由题意，易知AB与CD 方向相反，故AB与CD 共线又|AB|CD|，在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD，四边形 ABCD 为平行四边形AD BC，|AD
9、|BC|200 km.答案 题型三相等向量与共线向量例 3(1)若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；两向量 a，b 相等的充要条件是|a|b|，ab；|a|b|是向量 ab 的必要不充分条件；ABCD的充要条件是 A 与 C 重合、B 与 D 重合其中真命题的个数是_(2)如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且OA a，OB b，OC c.与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？与 a 共线的向量有哪些？请一一列出与 a，b，c 相等的向量解析(1)不正确两个向量的长度相等，
10、但它们的方向不一定相同，因此由|a|b|推不出 ab.正确ABDC，|AB|DC|且ABDC.又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 是平行四边形反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC，且AB与DC 方向相同，因此ABDC.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同又bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同故 ac.解析 不正确当 ab，但方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|，ab不是 ab 的充要条件正确这是因为|a|b|/ab，但 ab|a|b|，所以|a|b|是 ab的必要不充分条件不正确这是因为ABCD 时，应有
11、|AB|CD|及由 A 到 B 与 C 到 D 的方向相同，但不一定要有 A 与 C 重合、B 与 D 重合解析(2)与 a 的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.与 a 共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与 a 相等的向量有EF，DO，CB；与 b 相等的向量有DC，EO，FA；与 c 相等的向量有FO，ED，AB.解析 答案(1)3(2)见解析答案 结论探究 本例(2)条件不变，试写出与向量BC相等的向量解 OD，AO，FE.答案 综合探究 在本例(2)中，若|a|1，则正六边形的边长如何？解 因为 ABCDEF 是正六边形，|a|1，所以正六
12、边形的边长也是 1.答案 共线向量与相等向量的区别与联系相等向量是指大小相等且方向相同的向量共线向量是方向相同或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性(1)下列命题：两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；若非零向量AB与CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点共线；若 ab 且 bc，则 ac；若四边形 ABCD 是平行四边形，则一定有ABDC.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3(2)如图所示，四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形找出与向量AB共线的向量；找出与向量AB相等的向量答案
13、(1)B(2)见解析答案 解析(1)相等向量起点相同时，终点必相同，故错误；向量的共线不同于点共线，故当AB与CD 共线时，四点 A，B，C，D 不一定共线，即错误；当 b0 时，a 与 c 没有任何关系，故错误；AB与DC 同向且等长，则ABDC，故正确(2)依据图形可知，DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD，DE，CE与AB方向相反，所以与向量AB共线的向量为BA，CD，DC，ED，DE，EC，CE.由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知DC，ED 与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC 和ED.解析 随堂水平达标 1有下列物理量：质量；速度；力；加速度
14、；路程；功其中，不是向量的个数是()A1 B2 C3 D4解析 速度、力、加速度这 3 个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量解析 答案 C答案 2在下列判断中，正确的是()长度为 0 的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向；任意向量与零向量都共线ABCD答案 D答案 解析 由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确显然正确，不正确解析 3如图，在圆 O 中，向量OB，OC，AO 是()A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量答案 C答案 解析 由图可知，三向量方向不同，但长度相等解析 4如图所示，以 12 方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中，与AF相等的向量有_解析 因为各方格均为正方形，则有BECD AF.解析 答案 BE，CD答案 5如图，O 是正方形 ABCD 的中心(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA 的模相等的向量解(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA 的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件
