1、20192020学年度第二学期期中考试高二数学试题第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. -1【答案】B【解析】由得，且，2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】首先求出复数的共轭复数，再判断象限即可.【详解】设，复数对应的点为，所以对应的点位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的共轭复数，同时考查复数的几何意义，属于简单题.3.设为随机变量，
2、且，若随机变量的数学期望，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二项分布的概率公式，期望和方差运算公式直接求解.【详解】由，则，解得，.故选：B.【点睛】本题考查了二项分布的概率公式，期望和方差运算公式，属于容易题.4.将展开后，常数项是（ ）A. 30B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】，然后写出其展开式的通项，令的次数为0，然后可解出答案.【详解】展开后的通项是令，得所以常数项是故选：D【点睛】本题考查的是二项式定理的应用，准确的写出展开式的通项是解题的关键.5.设随机变量的分布列为P(=i)=a,i=1,2,3,则a的值为A. 1B. C. D. 【答案】
3、C【解析】【分析】利用离散型随机变量分布列的性质计算即可.【详解】设随机变量的分布列为P（i）a（）i，i1，2，3，a1，解得a故选C【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质的运用，属于简单题6.若，且，则实数的值为（ ）A. 1或B. C. 1D. 1或3【答案】A【解析】【分析】令代入已知等式可解得值【详解】在中令得，解得或故选：A【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中各项系数和在求二项展开式中系数和时对变量的赋值是解题关键7.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】先对求导，然后根据列出关于的等式，即可解出.【详解】设，则
4、，所以，即.故选：B.【点睛】本题考查了导数的基本运算，难度不大，解题关键是明确是一个常数.8.设偶函数的导函数，当时，则使得成立的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知当时总有成立，可判断函数在上为减函数，由已知是定义在上的奇函数，可证明在上为减函数，不等式等价于，分类讨论即可得到答案【详解】令，则，在上为减函数，又，函数为定义域上的奇函数，在上为减函数又，（1），不等式，或，或，成立的的取值范围是，故选：C【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多项选择题：本大题共4个小题，每
5、小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9.下面是关于复数（为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（ ）A. B. 对应的点在第一象限C. 的虚部为D. 的共轭复数为【答案】AB【解析】【分析】根据复数的定义和几何意义以及共轭复数的概念依次判断选项即可.【详解】因为，对选项A，故A正确.对选项B，对应的点为，在第一象限，故B正确.对选项C，的虚部为，故C错误.对选项D，故D错误.故选：AB【点睛】本题考查了复数的定义和几何意义，同时考查了复数的共轭复数，属于简单题.10.下列判断正确的是（ ）A. 线性回归直线必经过
6、点，中心点B. 从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1D. 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数【答案】AC【解析】【分析】根据线性回归直线的性质可判断A；由独立性检验知识可判断B；由相关系数的概念可判断C；由方差的定义可判断D；【详解】对于线性回归方程，直线必经过样本中心点，故A正确；有的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，但并不代表若某一个人吃地沟油，他有的可能患胃肠癌，故B错误；由相关系数的概念知两个随机变量
7、的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确；由方差的定义得将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故D错误；故选：AC.【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质，考查独立性检验的应用，方差的性质，属于基础题.11.设，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中不正确的是（ ）A. B. C. 对任意正数，D. 对任意正数，【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质判断【详解】由图象知，所以，A错；的密度曲线比较瘦长，因此，所以，B错；由于，因此对任意正数，C正确；D错误故选：ABD【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查均值和标准差对
8、密度曲线的位置与形状的影响，属于基础题12.对于函数，下列说法正确是（ ）A. 在处取得极大值B. 有两个不同的零点C. D. 若在恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，求出函数的单调区间，再求出极大值即可判断A正确，对选项B，利用函数的单调性和最值即可判断B错误，对选项C，首先利用函数的单调性即可得到，再构造函数，利用的单调性即可得到，最后即可判断C正确，对选项D，转化为在在恒成立，构造函数，求出最大值即可判断D正确.【详解】对选项A，.令，.，为增函数， ，为减函数.所以处取得极大值，故A正确.对选项B，当时，当时，当时，又因为，所以只有一个零点，故B错误.对选项C，因为在区间
9、单调递减，且，所以.，.设，.令，.所以时，为减函数.又因为，所以，.即，所以，故C正确.对选项D，在在恒成立.设，令，.当，为增函数，当，为减函数.所以，即，故D正确.故答案为：ACD【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值和最值，同时考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若，则实数_【答案】【解析】【分析】根据复数相等的定义求解【详解】由题意，解得故答案为：【点睛】本题考查复数相等的定义，属于基础题14.若，则_【答案】12【解析】【分析】利用排列数和组合数的计算公式，化简求值即可.【详解】
10、由得，化简可得，解得，所以.故答案为：12.【点睛】本题考查排列数，组合数的计算，难点在于需准确的计算化简，属基础题.15.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法【答案】90【解析】【分析】根据题意得到，先分组再全排列即：.【详解】6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，每个学校去2个人，先平均分组，再全排列即可：.故答案为90.【点睛】不同元素分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组注
11、意各种分组类型中，不同分组方法的求解16.若，当时，的极大值为_；关于的方程在上有根，则实数的取值范围是_ 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】将代入，对函数进行求导，结合单调性可得极值；由题意可得，利用导数判断函数的单调性，由此求得的范围.详解】当时，令，得或；令，得；即函数在和上单调递增，在上单调递减；所以的极大值为.关于的方程在上有根，即在上成立，由于，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；而，所以的值域为，即实数的取值范围是，故答案为：2，.【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性和极值的关系，学生对一元三次方程的图象的认识，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70
12、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（1）计算；（2）在复数范围内解关于x的方程：【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用复数的乘除运算即可求解.（2）利用配方以及复数的四则运算即可求解.【详解】解：（1）；（2）由，配方得，即，所以【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了运算求解能力，属于基础题.18.（1）函数的导数为，求；（2）设是函数图象的一条切线，证明：与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关【答案】（1）2；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，根据直接计算即可；（2）设切点为，对求导，然后根据点斜式写出切线的方程，从而可以求出与坐标轴的交点坐标，进而求出
13、三角形面积，证明题中结论.详解】（1），则，所以；（2）设切点为，切线的斜率，切线的方程为：，令，得，令，得，所以与坐标轴所围成的三角形的面积，因此与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关【点睛】本题考查了导数的基本运算，考查了切线方程的基本应用，难度不大.19.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568（1）若回归直线方程，其中；试预测当单价为10元时的销量；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单
14、价应定为多少元？（利润=销售收入成本）【答案】（1）50件；（2）8.75元【解析】【分析】（1）根据数据求出样本中心，将样本中心及，代入回归直线，即可求得，即可得回归方程，代入，即可预测销量.（2）根据题意，列出利润的表达式，根据二次函数的性质，即可得利润最大值及单价.【详解】解：（1）由于，所以，得，从而回归直线方程为当时，预测销量为50件；（2）设工厂获得的利润为元，依题意得当且仅当时，取得最大值故当单价定为8.75元时，工厂可获得最大利润【点睛】本题考查回归方程的求法，二次函数性质的综合应用，属基础题.20.在的展开式中，第3项的二项式系数为28（1）求及第5项的系数；（2）求展开式中
15、的有理项【答案】（1），第5项系数为1120；（2）有理项共三项，分别为，【解析】【分析】（1）根据第3项的二项式系数为28,可得的值.由二项式定理展开通项，即可求得第5项的系数；（2）由二项式定理展开通项，即可求得有理项.【详解】（1）第3项的二项式系数为，得，解得，第5项的系数是（2），当时，当时，当时，；所以有理项共三项，分别为，【点睛】本题考查了二项式定理展开的应用，考查二次项系数、系数、有理项的求法，属于基础题.21.已知函数，其中为非零常数（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在处的切线斜率为，求的极值【答案】（1）在递增，在递减；（2）极大值为，无极小值【解析】【分析】(1) 求
16、导，通过导函数的符号研究函数的单调区间;(2)求导，根据导数的几何意义可知，求得的值，根据求极值的步骤依次求解即可.【详解】解：（1）当时，当时，；当时，；在递增，在递减；（2），得，当时，；当时，；在递增，在递减；的极大值为，无极小值【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.22.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求顾客所获的奖励额为60元的概率顾客所获的
17、奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【答案】(1),参考解析;(2)参考解析【解析】试题分析：(1)由袋中所装4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.由获得60元的事件数除以总的事件数即可. 顾客获得奖励有两种情况20
18、元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.(2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. 依题意,得.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为.依题意,得X的所有可能取值为20,60.即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10
19、,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为2060100的期望为,的方差为.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为406080的期望为,的方差为.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.
