1、专题三 三角函数、三角变换、解三 角形与平面向量 1 三角函数的图象与性质 真题热身1(2011大纲全国)设函数 f(x)cos x(0)，将 yf(x)的图象向右平移3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于()A13 B3C6 D9解析 由题意可知，nT3(nN*)，n2 3(nN*)，6n(nN*)，当 n1 时，取得最小值 6.C 2(2011天津)已知函数 f(x)2sin(x)，xR，其中 0，.若 f(x)的最小正周期为 6，且当 x2时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间2，0上是增函数Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间3，5上是减函数Df(x
2、)在区间4，6上是减函数解析 T6，2T 2613，1322k2(kZ)，2k3(kZ)，令 k0 得 3.f(x)2sin(x33)令 2k2x332k2，kZ.则 6k52 x6k2，kZ.显然 f(x)在2，0上是增函数，故 A 正确；而在3，52 上为减函数，在52，上为增函数，故 B 错误；f(x)在3，72 上为减函数，在72，132 上为增函数，故 C 错误；f(x)在4，6上为增函数，故 D 错误答案 A3(2011江西)已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则y_.解析 因为 sin y42y22 55，所以
3、 y0，0)的部分图象如图所示，则 f(0)的值是_解析 由题图知 A 2，T471234，T，2 2.232k，kZ.2k3，kZ.令 k0，得 3.函数解析式为 f(x)2sin(2x3)，f(0)2sin 3 62.62考点整合 1任意角的三角函数(1)设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin y，cos x，tan yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2正弦、余弦、正切的图象性质 ysin xycos xytan x定义域RRx|xk2，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk2(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称
4、轴：xk(kZ)；对称中心：(k2，0)(kZ)对称中心：k2，0(kZ)函 数性质周期22单调性单调增区间2k2，2k2(kZ)；单调减区间2k2，2k32 (kZ)单调增区间2k，k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间(k2，k2)(kZ)奇偶性奇偶奇3.yAsin(x)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设 Xx，X 取 0，2，32，2 来求相应的 x 值、y 值，再描点作图(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是，一般是从“五点法”中的第一点(，0)作为突破口(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩不出错，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记
5、每个变换总对字母 x 而言(4)把函数式化为 yAsin(x)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意 A、的符号及复合函数的单调性规律：同增异减分类突破 一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例 1 如图，以 Ox 为始边作角 与(00，cos 340，0，|0，0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A，再由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，只有限定 的取值范围，才能得出唯一解，否则 的值不确定，解析式也就不唯一将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x002k(kZ
6、)，其他依次类推即可变式训练 2 右图是函数 yAsin(x)(xR)在区间6，56 上的图象为了得到这个函数的图象，只要将 ysin x(xR)的图象上所有的点()A向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变C向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变解析 由图象可知 A1，T56(6)，2T 2.ysin(2x)(xR)图象过点(3，0)，sin(23)0，23 2k，kZ，32k
7、，kZ.ysin(2x32k)sin(2x3)故将函数 ysin x 先向左平移3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象答案 A三、三角函数的性质例 3 已知函数 f(x)sin xsin(x2)3cos2(3x)32 (xR)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)的单调递增区间；(3)求 f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标解 f(x)sin xcos x 3cos2x 3212sin 2x 3cos 2x12 3212sin 2x 32 cos 2xsin(2x3)(1)f(x)的最小正周期：T22.(2)由 2k22x32k2(
8、kZ)，知 k 12xk 512(kZ)，f(x)的单调递增区间为k 12，k 512，kZ.(3)由 2x32k(kZ)得对称轴方程为 x512k2(kZ)由 2x3k(kZ)得 xk2 6(kZ)，故对称中心坐标为(6k2，0)(kZ)归纳拓展(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 yAsin(x)的形式，然后再求解(2)对于形如 yasin xbcos x 型的三角函数，要通过引入辅助角化为 y a2b2sin(x)(cos aa2b2，sin ba2b2)的形式来求变式训练 3 已知函数 f(x)a(2cos2x2si
9、n x)b.(1)当 a1 时，求 f(x)的单调递减区间；(2)当 a0，x0，时，f(x)的值域是5,8，求 a，b 的值解(1)a1，f(x)(2cos2x2sin x)b(sin xcos x1)b 2sin(x4)1b.ysin x 的单调递增区间是2k2，2k2，kZ，当 2k2x42k2，即 2k34 x2k4，kZ 时 f(x)是减函数，f(x)单调递减区间是2k34，2k4，kZ.(2)由(1)得 f(x)2asin(x4)ab.x0，4x454，22 sin(x4)1.a0，|2)，yf(x)的部分图象如图所示，则 f(24)_.解析 由图形知，T2(388)2，2.由 2
10、38k，kZ，得 k34，kZ.又|2，4.由 Atan(204)1，知 A1，f(x)tan(2x4)，f(24)tan(2 244)tan 3 3.34存在(0，2)使 sin cos 13；存在区间(a，b)使 ycos x 为减函数且 sin x1，故错；若 ycos x为减函数，则 x2k，2k，kZ，此时 sin x0，故错；当 x 分别取，2 时，y 都是 0，故错；ycos 2xsin(2x)2cos2xcos x1，既有最大、最小值，又是偶函数，故对；y|sin(2x6)|的最小正周期为2，故错5在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(12，cos2)在角 的终边上，点 Q(s
11、in2，1)在角 的终边上，且OP OQ 12.(1)求 cos 2 的值；(2)求 sin()的值解(1)因为OP OQ 12，所以12sin2cos212，即12(1cos2)cos212，所以 cos223，所以 cos 22cos2113.(2)因为 cos223，所以 sin213，所以点 P(12，23)，点 Q(13，1)又点 P(12，23)在角 的终边上，所以 sin 45，cos 35.同理 sin 3 1010，cos 1010，所以 sin()sin cos cos sin 45 1010 35(3 1010)1010.6函数 yAsin(x)(A0，0，|2)的一段图
12、象如图所示(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)将函数 yf(x)的图象向右平移4个单位，得到 yg(x)的图象，求直线 y 6与函数 yf(x)g(x)的图象在(0，)内所有交点的坐标解(1)由题图知 A2，T，于是 2T 2，将 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，得 y2sin(2x)的图象于是 2 126，f(x)2sin2x6.(2)依题意得 g(x)2sin2x4 62cos2x6.故 yf(x)g(x)2sin2x6 2cos2x62 2sin2x 12.由 2 2sin2x 12 6，得 sin2x 12 32.0 x，122x 122 12.2x 123或 2x 1223，x 524 或 x38，所求交点坐标为524，6 或38，6.返回
