1、A 级：“四基”巩固训练一、选择题1已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为()A.24 B.6 C.3 24 D.3 6解析 设球 O 的半径为 r，则43r323，解得 r3 6.解析 答案 D答案 2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()A.83 B.323 C8 D.8 23解析 设球的半径为 R，则截面圆的半径为 R21，截面圆的面积为S(R21)2(R21)，R22，球的表面积 S4R28.解析 答案 C答案 3一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为 3,4,5，则它的外接球的表面积是()A20 2 B25 2 C
2、50 D200答案 C答案 解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球设此三棱锥的外接球的半径为 r，则有(2r)232425250，即 4r250，故它的外接球的表面积是 S4r250.解析 4如图所示，扇形的中心角为2，其所在圆的半径为 R，弦 AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以 AO 为轴旋转一周，若ABO 旋转得到的几何体体积为 V1，弓形 AB 旋转得到的几何体积为 V2，则 V1V2 的值为()A11 B21 C12 D14答案 A答案 解析 AOB 绕 AO 旋转一周得到的几何体为圆锥
3、，体积 V113R3，整个扇形绕 AO 旋转一周得到的几何体为半球，体积 V23R3，于是 V2VV113R3.解析 5一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323，那么这个正三棱柱的体积是()A96 3 B16 3 C24 3 D48 3解析 设正三棱柱的底面边长为 a，则球的半径 R 33 12a 36 a，正三棱柱的高为 33 a.又 V球43R343 3363 a3323.a4 3.V柱 34(4 3)2 33 4 348 3.解析 答案 D答案 二、填空题6圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好
4、淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_ cm.答案 4答案 解析 设球的半径为 r，则圆柱形容器的高为 6r，容积为 r26r6r3，高度为 8 cm 的水的体积为 8r2,3 个球的体积和为 343r34r3，由题意 6r38r24r3，解得 r4 cm.解析 7已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3，则球 O 的表面积等于_解析 设球 O 的半径为 R，圆 M 的半径为 r，由题意得 r 3，又球心到圆 M 的距离为R2，由勾股定理，得 R2r2R22，R2，则球的表面积为16.解析 答案 16答案 8已知两个
5、正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为 12，则该球的表面积为_答案 36答案 解析 两正四棱锥有公共底，且体积比为 12，它们的高之比为 12，设高分别为 h,2h，球的半径为 R，则 h2h3h2R，R32h，又底面边长为 4，R232h 2h22(2 2)2，解得 h2，R3，S 球4R236.解析 三、解答题9如图，AB 是半径为 R 的球的直径，C 为球面上一点，且BAC30，求图中阴影区域构成的几何体的全面积及其体积解 如图所示，过点 C 作 CO1AB 于点 O1，由题意可得BCA90.又BAC30，AB2R，AC 3
6、R，BCR，CO1 32 R，AO132R，BO1R2.S 球4R2，答案 S 圆锥 AO1 侧 32 R 3R32R2，S 圆锥 BO1 侧 32 RR 32 R2，S 几何体表S 球S 圆锥 AO1 侧S 圆锥 BO1 侧4R232R2 32 R211 32R2，几何体的表面积为11 32R2.答案 又 V 球43R3，V 圆锥 AO113AO1CO2138R3，V 圆锥 BO113BO1CO2118R3，V 几何体V 球(V 圆锥 AO1V 圆锥 BO1)43R312R356R3.答案 B 级：“四能”提升训练1已知正三棱柱的体积为 3 3 cm3，其所有顶点都在球 O 的球面上，则球
7、O 的表面积的最小值为_ cm2.答案 12答案 解析 球 O 的表面积最小时，球 O 的半径 R 最小设正三棱柱的底面边长为 a，高为 b，则正三棱柱的体积 V 34 a2b3 3，所以 a2b12.底面正三角形所在截面圆的半径 r 33 a，则 R2r2b22a23 b24 1312b b24 4bb24 2b2bb24 33 2b2bb24 3，当且仅当2bb24，即 b2 时，取等号又因为 0b2R，所以(R2)min3.故球 O 的表面积的最小值为 12.解析 2在半径为 15 的球 O 内有一个底面边长为 12 3的内接正三棱锥 ABCD，求此正三棱锥的体积解 如图甲所示的情形，显然 OAOBOCOD15.设 H 为BCD的中心，则 A，O，H 三点在同一条直线上HBHCHD23 32 12 312，OH OB2HB29，正三棱锥 ABCD 的高 h91524.答案 又 SBCD 34(12 3)2108 3，V 三棱锥 ABCD13108 324864 3.答案 对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥 ABCD 的高 h1596，SBCD108 3，V 三棱锥 ABCD13108 36216 3.综上，此正三棱锥的体积为 864 3或 216 3.答案
