1、第三章 不等式 3.2 均值不等式 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题(重点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1重要不等式如果 a，bR，那么 a2b2 2ab(当且仅当 ab 时取“”)2均值不等式 abab2(1)均值不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号a0，b0ab课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3算术平均数与几何
2、平均数(1)设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ；(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数它们的几何平均数4用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有(2)两个正数的和为常数时，它们的积有不小于最小值最大值ab课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意 a，bR，a2b22ab，ab2 ab均成立()(2)若 a0，则 a4a2a4a4.()(3)若 a0，b0，则 abab22.()(4)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的()课时分层作业当堂
3、达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(5)若 ab1，a0，b0，则 ab 的最小值为 2.()(6)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值()(7)若 a0，b0 且 ab4，则 ab4.()(8)当 x1 时，函数 f(x)x 1x12xx1，所以函数 f(x)的最小值是2xx1.()(9)如果 log3mlog3n4，则 mn 的最小值为 9.()(10)若 x，yR，且 x4y1，则 xy 的最大值为 116.()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1).任意 a，bR，有 a2b22ab 成立，当 a，b 都为正数时，不等式 a
4、b2 ab成立(2).只有当 a0 时，根据均值不等式，才有不等式 a4a2a4a4 成立(3).因为 abab2，所以 abab22.(4).因为不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR；而ab2 ab成立的条件是 a，b 均为非负实数课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(5).因为 a0，b0，所以 ab2 ab2，当且仅当 ab1 时取等号，故 ab 的最小值为 2.(6).由均值不等式求最值条件可知(7).因为 abab2 422，所以 ab4.(8).因 为 当 x1 时，x 10，则 f(x)x 1x1 (x 1)1x1 12x1 1x113.当且仅当
5、 x1 1x1，即 x2 时，函数 f(x)取到最小值 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(9).因为由 log3mlog3n4，得 mn81 且 m0，n0，而mn2 mn9，所以 mn18，当且仅当 mn9 时，mn 取到最小值 18.(10).因为 x，yR，而 4xyx4y2212214，所以 xy 116.当且仅当 x4y，即 x12，y18时取等号答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难利用均值不等式比较代数式的大小(1)已知 a，b，c 是两
6、两不等的实数，则 pa2b2c2 与 qabbcca 的大小关系是_(2)给出下列命题：若 xR，则 x1x2；若 a0，b0，则 lg alg b2 lg alg b；若 a0，b0，则 ab 1ab2；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页不等式yxxy2 成立的条件是 x0 且 y0.其中正确命题的序号是_.【导学号：12232283】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)a，b，c 互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即 a2b2c2abbcac，亦即 pq.课时分层作业当堂
7、达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)只有当 x0 时，才能由均值不等式得到 x1x2x1x2，故错误；当a0，b0 时，lg aR，lg bR，不一定有 lg a0，lg b0，故 lg alg b2 lg alg b不一定成立，故错误；当 a0，b0，由均值不等式可得 ab 1ab2ab 1ab2，故正确；由均值不等式可知，当yx0，xy0 时，有yxxy2yxxy2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故错误答案(1)pq(2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等
8、式比较大小时应注意成立的条件，即 ab2 ab成立的条件是 a0，b0，等号成立的条件是 ab；a2b22ab 成立的条件是 a，bR，等号成立的条件是 ab.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1设 a0，b0，试比较ab2，ab，a2b22，21a1b的大小，并说明理由课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 a0，b0，1a1b 2ab，即 ab 21a1b(当且仅当 ab 时取等号)，又ab22a22abb24a2b2a2b24a2b22，ab2 a2b22(当且仅当 ab 时等号成立)，而 abab2，故a2b22ab2 ab 2
9、1a1b(当且仅当 ab 时等号成立)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页不等式的证明 已知 a，b，c 为不全相等的正实数求证：abc ab bc ca.【导学号：12232284】思 路 探 究 构造均值不等式的条件 运用均值不等式证明 判断等号成立的条件 得出结论课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 a0，b0，c0，ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ca0.2(abc)2(ab bc ca)，即 abc ab bc ca.由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立abc ab bc ca.课时分层作业当堂达标固双基自主预
10、习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等
11、式模型，再使用.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2已知 a0，b0，ab1，求证：11a 11b 9.证明 法一：因为 a0，b0，ab1，所以 11a1aba 2ba.同理 11b2ab.故11a 11b 2ba 2ab 52baab 549.所以11a 11b 9(当且仅当 ab12时取等号)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：11a 11b 11a1b 1ab1abab 1ab1 2ab，因为 a，b 为正数，ab1，所以 abab2214，于是 1ab4，2ab8.因此11a 11b 189(当且仅当 ab12时等号成立
12、)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页均值不等式的实际应用 如图 3-2-1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成图 3-2-1现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？【导学号：12232285】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知，4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为 S，则 Sxy.法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，所以 2 6xy18，得 xy272，即 Smax272，当且仅当 2
13、x3y 时，等号成立由2x3y18，2x3y，解得x4.5，y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：由 2x3y18，得 x932y.x0，0y6，Sxyy932y 32y(6y)0y0.S326yy22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求
14、最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.对于函数 yxkx(k0)，可以证明 x(0，k及 k，0)上均为减函数，在 k，)及(，k上都是增函数求此函数的最值时，若所给的范围含 k，可用均值不等式，不包含 k就用函数的单调性课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加 4 万元该船每年捕捞总收入 50 万元(1)问捕捞几年后总盈
15、利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元，则y50n9812nnn1242n240n982(n10)2102，当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)年平均利润为yn2n49n 20 22n49n 20 12，当且仅当 n49n，即 n7 时上式取等号当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用均值不等式求最值探究问题1
16、由 x2y22xy 知 xyx2y22，当且仅当 xy 时“”成立，能说 xy 的最大值是x2y22吗？能说 x2y2 的最小值为 2xy 吗？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示 最值是一个定值(常数)，而 x2y2 或 2xy 都随 x，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误要利用均值不等式ab2 ab(a，bR)求最值，必须保证一端是定值，方可使用课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为 yx1x2x1x2，当且仅当 x1x，即 x21 时“”号成立，所以 yx1x的最小值为
17、2.”你认为他的求解正确吗？为什么？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示 不正确因为利用均值不等式求最值，必须满足 x 与1x都是正数，而本题 x 可能为正，也可能为负所以不能盲目“套用”均值不等式求解正确解法应为：当 x0 时，yx1x2x1x2，当且仅当 x1x，即 x1 时取“”，yx1x的最小值是 2；当 x0 时，yx1x 2x1x 2，当且仅当 x1x，即 x1 时，取“”，yx1x的最大值是2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知 x3，求 yx24x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：yx24xx4x2x4x4，当
18、x3 时，yx24x的最值为 4.”课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示 不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可本解法忽略了等号成立的条件，即“”号不成立本问题可采用 yx4x的单调性求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)已知 x54，求 y4x214x5的最大值；(2)已知 0 x0，求 f(x)2xx21的最大值；(4)已知 x0，y0，且1x9y1，求 xy 的最小值【导学号：12232286】课时分层作业当堂达标固双基自
19、主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征(1)4x214x54x514x53.(2)12x(12x)142x(12x)(3)2xx21 2x1x.(4)xy(xy)1(xy)1x9y.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)x0，y4x214x554x154x 3231，当且仅当 54x154x，即 x1 时，上式等号成立，故当 x1 时，ymax1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)0 x0，y142x(12x)142x12x221414 116.当且仅当 2x12x0 x0，
20、x1x2x1x2，f(x)221，当且仅当 x1x，即 x1 时等号成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(4)x0，y0，1x9y1，xy1x9y(xy)yx9xy 1061016，当且仅当yx9xy，又1x9y1，即 x4，y12 时，上式取等号故当 x4，y12 时，(xy)min16.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.利
21、用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练4已知 a0，b0，若不等式2a1bm2ab恒成立，则 m 的最大值等于()A10 B9C8D7B a0，b0，2ab0，要使2a1bm2ab恒成立，只需 m(2ab)2a1b 恒成立，而(2ab)2a1b 42ab 2ba 1549，当且仅当 ab 时，等号成立m9.故应选 B.课时分层作
22、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1已知 a0，b0，且 ab2，则()【导学号：12232287】Aab12 Bab12Ca2b22Da2b23C 由 ab2，得 abab221，排除选项 A，B.由a2b22ab22，得a2b22.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则xyz 的最大值为()A1B3C 3D4A xyz xyx23xy4y21xy4yx 3 1431，当且仅当 x2y 时等式成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3函数 ylog2x
23、1x15(x1)的最小值为()A3B3C4D4B x 1x15(x1)1x162x1 1x168，当且仅当 x2 时，取“”，log2x 1x15 3，ymin3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_.【导学号：12232288】9，)a0，b0，abab32 ab3，即 ab2 ab30，解得 ab3，即 ab9.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5(1)当 x32时，求函数 yx82x3的最大值；(2)设 0 x2，求函数 y x42x的最大值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)y12(2x3)82x33232x2832x 32.当 x32时，有 32x0，32x2832x232x2832x4，当且仅当32x2832x，即 x12时取等号于是 y43252，故函数的最大值为52.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)0 x2，2x0，y x42x 2x2x 2x2x2 2，当且仅当 x2x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y x42x的最大值为 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十七）点击上面图标进入 谢谢观看
