1、难点突破之放缩法解(证)导数压轴题一、导数黄金不等式:1.(当且仅当时等号成立);2. (当且仅当时等号成立);3.;4. 其中;5. (当且仅当时等号成立);6. (当且仅当时等号成立);7.(当且仅当时等号成立);8. .二、部分黄金不等式的证明1.求证(当且仅当时等号成立).证明:方法一、构造函数,当时,单调递减;当时,单调递增;而, 所以存在使得,于是当时,递增;当时,递减;当时,递增;而,所以时(当且仅当或时取等号).方法二、当时成立.当时,构造函数,其中当时,单调递减;当时,单调递增;于是,所以原不等式成立.2.证明:.证明:记所以在上递增,而所以时,从而递减;时,从而递增;所以即
2、即原不等式成立.三、应用举例例1.证明:.证明:例2.设函数,证明:证明:要证即证记,由得,时,递减;时,递增;所以,即于是,(利用进行放缩)两等号成立的条件不同所以故成立.另证:(凸凹翻转)由题意知等价于设函数,则.所以当时,;当时,.故在上单调递减,在上单调递增,从而在上的最小值为.设,则所以当时,;当时,.故在上单调递减,在上单调递增,从而在上的最大值为.综上,当时,即.例3.求证:时,证明:令(利用进行放缩)记,则,时,而,故所以在上递增,故所以在上递增,故,即所以在上递增,而时,所以时,即所以.例4. 已知函数,(1)证明:当时,无零点;(2)若对任意实数,恒成立,求实数的取值范围.
3、【答案】【解析】(1)先证明结论.令,.由得,由得.故在上递减,在上递增.得证.当时,.故无零点.(2)由对任意实数恒成立,得记,则.而(利用进行放缩)上述等号成立当且仅当.令,则有解.所以.故.例5.设函数.(1)若,求的单调区间;(2)若当时,求的取值范围.【解析】(1) 时,当时,单调递减;当时,单调递增;所以的减区间为,增区间为.(2).由(1)知当时,当且仅当时等号成立.故,从而当,即时,而,于是当时.当时,由得,于是故当时,而,于是时,综上知的取值范围为.例6.【2020湖北省七市州3月调考】已知函数,其中为自然对数的底数.(1)求的单调区间;(2)若对恒成立,记,证明:.【解析】
4、(参变分离,利用两大基本放缩)易证得,由时恒成立有记,则.例7.已知函数,其中.(1)讨论函数的单调性;(2)若是方程的两个不同的实数根,求证:.【答案】【解析】比值换元+均值放缩(1)函数定义域为 当时,在上递增;当时,递增;,递减;(2) 方程即,于是不妨设,则设,则,可得要证即证即证即证(利用进行放缩)只要证即证令,则故在递增故故原结论成立.例8.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)令,若存在,且时,证明:.【答案】【解析】放缩+对数均值(2)不妨设即令,故在上单调递增,故,即故,于是要证只要证只要证即证令,则即证,其中令,故,即故.三、通关练习(19题)1.证明:当时恒成立.证明:
5、要证当时成立只要证即证而(当且仅当等号成立),(当且仅当等号成立),所以成立. 所以原结论成立.2.证明:当时,.证明:要证当时,成立只要证即证而(当且仅当等号成立),(当且仅当等号成立),所以成立. 所以原结论成立.3.证明:.证明:4.证明:.证明:5.证明:.证明:即证 而所以成立. 6.已知函数,若,求证:.证明:时7.证明:当时,证明:已知成立于是要证只要证即证记所以在上递增,而所以时,从而递减;时,从而递增;所以即即原不等式成立.8.证明:当时,.【解析】(放缩后再证)已知时于是要证只要证即证记,所以在时递增,而所以时,从而递减;时,从而递增;所以即即原不等式成立.另证:(直接证明
6、)记所以在时递增,而所以时,从而递减;时,从而递增;所以即所以原不等式成立.9.已知函数,若时不等式对一切恒成立,求的取值范围.【答案】【解析】由时不等式对一切恒成立得而等号成立当且仅当记,所以使,所以最小值为2所以.10.不等式对任意的恒成立,则的取值范围为_.【解析】由不等式对任意的恒成立得而等号成立当且仅当记, 又所以使,所以最小值为所以.11. 已知函数,(1) 当时求曲线在点处的切线方程;(2)若恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1) 时,所以曲线在点处的切线方程为即(2)注意到当时,不合题意;当时,由结论可得,又得,即 综上:.12. 已知函数,(1)求曲线在点处的切线方程;(2
7、)若对任意实数,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(2) 令下面说明等号成立的条件,即存在使得,令,显然在上递增,而故唯一使得,故,从而,.13. 已知函数(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,函数满足:对任意,都有恒成立,求实数m的取值范围【解析】(1)的定义域是,令,解得:,令,解得:,令,解得:,故在递增,在递减;(2)当时,由在恒成立,得:,设,则,故时,递减,时,递增,故,即当且仅当时“”成立),故当且仅当时“=”成立),是增函数,且,故存在使得成立,故当且仅当时“=”成立),故,即m的取值范围是【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的
8、单调区间即可;(2)问题转化为,设,根据函数的单调性得到当且仅当时“=”成立),从而求出m的范围即可本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查转化思想,是一道综合题14.证明:.证明:由得设,则由得时,递增,时,递减,所以又所以即得即. 15.(2012辽宁)设,曲线与直线在点相切.(1)求的值; (2)证明:当时.【解析】(1) ,解得,(2) 由均值不等式,当时,又由,当时记,则当时,所以在上单调递减,又,所以所以当时.16.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)求证:.【解析】(1)的定义域为,当时,在上是减函数;当时,的两根是和时,单调递减,时,单调递减
9、;(2)当时,由(1)得在上单调递减,在上单调递增,即,用代换得,因此,设,时,单调递增,时,单调递减,.17. 已知函数.(2)求证:当时,.【解析】当时,即证只要证即证只要证令,则当时,单调递增;当时,单调递减;故,即成立故原结论成立.18. 已知函数,其中.(1)讨论函数的单调性;(2)若是方程的两个不同的实数根,求证:.【答案】【解析】比值换元+均值放缩(1)函数定义域为 当时,在上递增;当时,递增;,递减;(2) 方程即,于是不妨设,则设,则,可得要证即证即证即证只要证即证令,则故在递增故故原结论成立.19.【2021广州一模】已知函数.(1)证明:曲线在点处的切线恒过定点;(2)若有两个零点,且,证明:.【解析】(1),切线方程为:,即当时,故切线过定点.(2)比值换元+均值不等式 已知是的零点,且,则则则令,则由可得令,令,则在单调递增,且故时,从而单调递减,故,则,故.