1、难点突破之放缩法解(证)导数压轴题一、导数黄金不等式：1.（当且仅当时等号成立）；2. （当且仅当时等号成立）；3.；4. 其中；5. （当且仅当时等号成立）；6. （当且仅当时等号成立）；7.（当且仅当时等号成立）；8. .二、部分黄金不等式的证明1.求证（当且仅当时等号成立）.证明：方法一、构造函数，当时，单调递减；当时，单调递增；而， 所以存在使得，于是当时，递增；当时，递减；当时，递增；而，所以时（当且仅当或时取等号）.方法二、当时成立.当时，构造函数，其中当时，单调递减；当时，单调递增；于是，所以原不等式成立.2.证明：.证明：记所以在上递增，而所以时，从而递减；时，从而递增；所以即
2、即原不等式成立.三、应用举例例1.证明：.证明：例2.设函数，证明：证明：要证即证记，由得，时，递减；时，递增；所以，即于是，（利用进行放缩）两等号成立的条件不同所以故成立.另证：(凸凹翻转)由题意知等价于设函数，则.所以当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.设，则所以当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最大值为.综上，当时，即.例3.求证：时，证明：令（利用进行放缩）记，则，时，而，故所以在上递增，故所以在上递增，故，即所以在上递增，而时，所以时，即所以.例4. 已知函数，(1)证明：当时，无零点；(2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
3、【答案】【解析】（1）先证明结论.令，.由得，由得.故在上递减，在上递增.得证.当时，.故无零点.（2）由对任意实数恒成立，得记，则.而（利用进行放缩）上述等号成立当且仅当.令，则有解.所以.故.例5.设函数.(1)若，求的单调区间；(2)若当时，求的取值范围.【解析】(1) 时，当时，单调递减；当时，单调递增；所以的减区间为，增区间为.(2).由(1)知当时，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时.当时，由得，于是故当时，而，于是时，综上知的取值范围为.例6.【2020湖北省七市州3月调考】已知函数，其中为自然对数的底数.(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，记，证明：.【解析】
4、（参变分离，利用两大基本放缩）易证得，由时恒成立有记，则.例7.已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若是方程的两个不同的实数根，求证：.【答案】【解析】比值换元+均值放缩(1)函数定义域为 当时，在上递增；当时，递增；，递减；(2) 方程即，于是不妨设，则设，则，可得要证即证即证即证（利用进行放缩）只要证即证令，则故在递增故故原结论成立.例8.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)令，若存在，且时，证明：.【答案】【解析】放缩+对数均值(2)不妨设即令，故在上单调递增，故，即故，于是要证只要证只要证即证令，则即证，其中令，故，即故.三、通关练习(19题)1.证明：当时恒成立.证明：
5、要证当时成立只要证即证而（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），所以成立. 所以原结论成立.2.证明：当时，.证明：要证当时，成立只要证即证而（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），所以成立. 所以原结论成立.3.证明：.证明：4.证明：.证明：5.证明：.证明：即证 而所以成立. 6.已知函数，若，求证：.证明：时7.证明：当时，证明：已知成立于是要证只要证即证记所以在上递增，而所以时，从而递减；时，从而递增；所以即即原不等式成立.8.证明：当时，.【解析】（放缩后再证）已知时于是要证只要证即证记，所以在时递增，而所以时，从而递减；时，从而递增；所以即即原不等式成立.另证：（直接证明
6、）记所以在时递增，而所以时，从而递减；时，从而递增；所以即所以原不等式成立.9.已知函数，若时不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】【解析】由时不等式对一切恒成立得而等号成立当且仅当记，所以使，所以最小值为2所以.10.不等式对任意的恒成立，则的取值范围为_.【解析】由不等式对任意的恒成立得而等号成立当且仅当记， 又所以使，所以最小值为所以.11. 已知函数，(1) 当时求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1) 时,所以曲线在点处的切线方程为即(2)注意到当时，不合题意；当时，由结论可得，又得，即 综上：.12. 已知函数，(1)求曲线在点处的切线方程；(2
7、)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(2) 令下面说明等号成立的条件，即存在使得,令，显然在上递增，而故唯一使得，故，从而，.13. 已知函数(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，函数满足：对任意，都有恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)的定义域是，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减；（2）当时，由在恒成立，得：，设，则，故时，递减，时，递增，故，即当且仅当时“”成立)，故当且仅当时“=”成立)，是增函数，且，故存在使得成立，故当且仅当时“=”成立)，故，即m的取值范围是【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的
8、单调区间即可；(2)问题转化为，设，根据函数的单调性得到当且仅当时“=”成立)，从而求出m的范围即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题14.证明：.证明：由得设，则由得时，递增，时，递减，所以又所以即得即. 15.(2012辽宁)设，曲线与直线在点相切.(1)求的值； (2)证明：当时.【解析】(1) ，解得，(2) 由均值不等式，当时，又由，当时记，则当时，所以在上单调递减，又，所以所以当时.16.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)求证：.【解析】(1)的定义域为，当时，在上是减函数；当时，的两根是和时，单调递减，时，单调递减
9、；(2)当时，由(1)得在上单调递减，在上单调递增，即，用代换得，因此，设，时，单调递增，时，单调递减，.17. 已知函数.(2)求证：当时，.【解析】当时，即证只要证即证只要证令，则当时，单调递增；当时，单调递减；故，即成立故原结论成立.18. 已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若是方程的两个不同的实数根，求证：.【答案】【解析】比值换元+均值放缩(1)函数定义域为 当时，在上递增；当时，递增；，递减；(2) 方程即，于是不妨设，则设，则，可得要证即证即证即证只要证即证令，则故在递增故故原结论成立.19.【2021广州一模】已知函数.(1)证明：曲线在点处的切线恒过定点；(2)若有两个零点，且，证明：.【解析】(1),切线方程为：，即当时，故切线过定点.(2)比值换元+均值不等式 已知是的零点，且，则则则令，则由可得令，令，则在单调递增，且故时，从而单调递减，故，则，故.