1、2012届高考数学（文）二轮复习课件：第7讲 平面向量第7讲 主干知识整合 主干知识整合1平面向量的基本概念向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量2平面向量的线性运算(1)加减运算；(2)数乘运算3共线向量定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使 ba.如果向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1 或者 x1y2x2y10，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x2x1y2y1，即对应坐标的比值相等第7讲 主干知识整合 对于任意向量 a，若以不共线
2、的向量 e1，e2 作为基底，则存在唯一的一组实数对，使 ae1e2.5向量的坐标运算a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，abx1x2y1y2.6数量积(1)已知 a，b 的夹角为a，b(0，)，则它们的数量积为aba b cos，其中b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即 a(bc)(ab)c不一定成立；(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2；(3)两非零向量 a，b 的夹角公式为 cos aba b x1x2y1
3、y2x21y21 x22y22；(4)a 2aa；(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零第7讲 要点热点探究 例 1 如图 71，正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF()图 71A0 B.BEC.AD D.CF 探究点一 平面向量的概念及线性运算第7讲 要点热点探究【分析】首先结合正六边形特征，借助向量相等和向量的三角形法则，应用向量的加、减法得出结论D【解析】BA CD EF BA AF BC BFBC CF，所以选 D.第7讲 要点热点探究【点评】本题考查了向量相等和向量的加、减法运算，属于对向量概念和线性运算的考查向量线性运算的常见规律：(1)在ABC 中，若 D 为
4、边 AB 的中点，则有CA CB 2CD；若MA MB MC 0，则点 M为ABC 的重心；若HA CB HB AC HC BA 0，则点 H 为ABC 的垂心；向量 AB|AB|AC|AC|(0)所在直线过ABC 的内心(BAC 的平分线所在的直线)(2)运用向量的加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”第7讲 要点热点探究 已知 A、B、C 三点不共线，且点 O 满足OA OBOC 0，则下列结论正确的是()A.OA 13AB 23BCB.OA 23AB 13BCC.OA 13AB 23BCD.OA 23AB 13BC 第7讲 要点热点
5、探究 D【解析】依题意，由OA OB OC 0，得 3OA AB AC，所以OA 23AB 13BC，选择D.第7讲 要点热点探究 例 2（1)2011江西卷 已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_.(2)若向量 a(1,1)，b(1,2)，则 ab 等于_ 探究点二 平面向量的数量积【分析】(1)首先借助数量积的运算性质把 b1b2 用已知的单位向量 e1，e2 表示出来，然后借助数量积的定义求出结果(2)直接运用向量数量积的坐标运算第7讲 要点热点探究(1)6(2)1【解析】(1)由题设知|e1|e2|1 且 e1e212，所以
6、b1b2(e12e2)(3e14e2)3e212e1e28e22321286.(2)由已知 a(1,1)，b(1,2)，得 ab1(1)121.第7讲 要点热点探究【点评】第(1)题考查了数量积的运算性质和数量积的概念，易错在审题不清，把 e1，e2 理解成互相垂直的两个向量；第(2)题考查数量积的坐标运算，要求记牢坐标运算，并且能够熟练的利用坐标运算第7讲 要点热点探究 2011安徽卷 已知向量 a，b 满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则 a 与 b 的夹角为_ 3【解析】设 a 与 b 的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos6，所以 cos12.因为0
7、，故 3.第7讲 要点热点探究 例 3(1)已知向量 a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)若a2b 与 c 共线，则 k_.(2)2011课标全国卷 已知a与b为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则 k_.探究点三 平面向量的共线与垂直的综合运用【分析】(1)从向量共线入手，借助向量共线的坐标表示，不难得出最后结论(2)利用两个向量垂直，数量积为 0，从而得出 k 的值 第7讲 要点热点探究(1)1(2)1【解析】(1)因为 a2b(3，3)，由 a2b与 c 共线，有 k3 33，可得 k1.(2)由题意，得(ab)(kab)ka 2abkabb 2k
8、(k1)ab1(k1)(1ab)0，因为 a 与 b 不共线，所以 ab1，所以 k10，解得 k1.第7讲 要点热点探究【点评】第(1)题考查向量共线和向量的坐标运算，属于基础题第(2)题考查了向量垂直的充要条件，题目难度不大，考查学生的基本运算能力，属于基础题注意记牢两个向量平行、垂直的充要条件(1)ababx1y2x2y10；(2)abab0 x1x2y1y20.第7讲 要点热点探究 已知向量 m(2,3)，n(1,2)，若 xmyn 与 m2n 共线，则yx_.2【解析】xmyn(2x,3x)(y,2y)(2xy,3x2y)，m2n(2,3)(2,4)(4，1)由于 xmyn 与 m2
9、n共线，则有2xy43x2y1，y2x12x8y，yx2.第7讲 要点热点探究 平面向量中的最值和范围问题是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、
10、范围问题的另一个基本思想是数形结合 创新链接4 平面向量中的最值、范围问题第7讲 要点热点探究 例 4 如图 72 放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上(含原点)上滑动，则OB OC 的最大值是_图 72第7讲 要点热点探究【分析】根据建立的坐标系，找到对应点的坐标，继而得到OB，OC 的坐标，借助向量数量积的坐标运算，应用三角恒等变换的知识转化为三角函数的形式，借助三角函数的性质求出最大值【答案】2【解析】设OAD，则 OAADcoscos，点 B 的坐标为(coscos(90)，sin(90)，即 B(cossin，cos)，同理可求得 C(
11、sin，sincos)，所以OB OC(cossin，cos)(sin，sincos)1sin2，所以(OB OC)max2.第7讲 要点热点探究【点评】本题考查了向量的数量积的坐标运算、三角恒等变换知识，结合三角函数性质构成的一个典型的求最值问题解决此问题的关键是把向量OB OC 坐标化后，利用三角恒等变换知识化成三角函数的形式，再充分利用三角函数的性质达到求最值的目的，总之，向量是工具，三角知识是关键第7讲 要点热点探究 2011天津卷 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_ 5【解析】建立如图所示的坐标系，
12、设 DCh，则 A(2,0)，B(1，h)设 P(0，y)(0yh)，则PA(2，y)，PB(1，hy)，|PA 3PB|253h4y2 255.第7讲 规律技巧提炼 1当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN ON OM(其中 O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当|ab|ab|时平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量 a，b 互相垂直，反之也成立规律技巧提炼第7讲 规律
13、技巧提炼 3两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识主要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面第7讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：虽然平面向量在高考中可能出现在解答题中
14、，但是平面向量难点并不是在解析几何和三角函数的综合解答题中，在这类试题中平面向量往往是一些最基本和简单的问题，平面向量的难点在于平面向量的线性运算，为此我们提供下面的三个备用例题例 1 同时考查向量的线性运算和坐标运算，这是一个难点，例 2考查向量的线性运算，平面向量加法的平行四边形法则的运用，例 3 为 2010 年全国卷的高考试题，是解法思路较广的一个最值问题第7讲 教师备用例题 例 1 设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4 A1A2(R)，且112，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，
15、dR)调和分割点 A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC、D 可能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 第7讲 教师备用例题【解析】D 由新定义知，AC AB，即(c,0)(1,0)，c.同理AD AB，即(d,0)(1,0)，d.又112，1c1d2.若点 C 为线段 AB 中点，则12，与112 矛盾，所以 C 不为线段 AB 中点，同理 D不为线段 AB 中点若点 C，D 同在线段 AB 上，则1c1d2，只能一个点在线段 AB 上，另一个点在线段 AB的延长线上第7讲 教师备用例题
16、例 2 设 P 为ABC 内一点，且AP34AB 15AC，则ABP 的面积与ABC 面积之比为()A.14B.34C.15 D.45第7讲 教师备用例题【解析】C 如图，过 P 作 PMAC 交 AB 于 M，PNAB 交 AC 于 N，因为AP 34AB 15AC，所以 N 为 AC靠近 A 的五等分点连接 CP 并延长，交 AB 于 D，则CP4PD，故CD 5PD，则ABP 的面积与ABC 的面积之比为15.第7讲 教师备用例题 例 3 已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为()A4 2B3 2C42 2D32 2第7讲 教师备用
17、例题【解析】D 法一：如图所示：设APB，0，PAPB|PA|PB|cos1tan22coscos22sin2212sin22 1sin22 12sin22sin22.换元：令 xsin22，0 x1，PAPB1x12xx2x1x32 23(当且仅当 2x1x，即 x 22 时等号成立)第7讲 教师备用例题 法二：建系：以 O 为原点，OP 所在直线为 x 轴，则圆的方程为 x2y21，设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，PAPB(x1x0，y1)(x1x0，y1)x212x1x0 x20y21x212x20(1x21)2x21x2032 23，当且仅当 2x21x20，即 x0 2x1 时等号成立
