1、【学生版】第 8 章平面向量【8.3.4 向量数量积与夹角的坐标表示】【附录】相关考点考点一向量数量积的运算的坐标表示在平面直角坐标系中，设分别是轴，轴上的单位向量；由于向量；分别等价于，根据向量数量积的运算，有，由于为正交单位向量，故，从而；即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；考点二平面向量夹角的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则；考点三向量垂直与平行的充要条件；给定向量，（1）；（2）；结论：柯西-施瓦兹不等式证明：一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知，则等于（ ）A10 B10 C3 D32、已知，且，则向量与夹角的大小为（ ）A B C D二、填充题（每小
2、题10分，共60分）3、已知平面向量，则= 4、已知向量，；若向量与垂直，则_.5、设向量，且，则_.6、已知(2，1)，(0，2)且，则点C的坐标是 7、已知向量，若向量，的夹角为，则实数_.8、已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值为_三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知与同向，；（1）求：的坐标；（2）若，求：及；10、已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)；（1）求证：ABAD；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值；【教师版】第 8 章平面向量【8.3.4 向量数量积与夹角的坐标表示】【附录】相关考点考
3、点一向量数量积的运算的坐标表示在平面直角坐标系中，设分别是轴，轴上的单位向量；由于向量；分别等价于，根据向量数量积的运算，有，由于为正交单位向量，故，从而；即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；考点二平面向量夹角的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则；考点三向量垂直与平行的充要条件；给定向量，（1）；（2）；结论：柯西-施瓦兹不等式证明：一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知，则等于（ ）A10 B10 C3 D3【提示】注意：先向量的坐标表示进行线性运算，然后，再向量数量积的坐标运算；【答案】B；【解析】2(4，3)，3(1,2)，所以(2)(3)4(1)(3)210
4、；【考点】本题考查了向量的线性运算与数量积运算的坐标表示；进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系：（1）|2.；（2）()()|2|2；（3）()2|22|2；2、已知，且，则向量与夹角的大小为（ ）A B C D【提示】注意：向量夹角公式的特征；【答案】C；【解析】因为，且，则；又因为，则.所以向量与夹角的大小为；【考点】本题考查平面向量的夹角、垂直问题；解决向量夹角问题的方法及注意事项：（1）求解方法：由直接求出；（2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是；利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为；
5、二、填充题（每小题10分，共60分）3、已知平面向量，则= 【提示】注意：向量模的定义与求法；【答案】；【解析】因为，所以，；方法1：；方法2：；【考点】本题考查了求向量模的大小；求向量的模的常见思路及方法（1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方；（2）或此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；4、已知向量，；若向量与垂直，则_.【提示】注意：向量的线性运算与垂直关系的坐标表示；【答案】7；【解析】因为，；所以，又与垂直，所以与，即(m1)(1)320，解得m7.【考点】本题主要考查了向量垂直的充要条件的坐标表示；5、设向量，且，则_.【提示】注意：实数
6、运算与向量运算；【答案】2；【解析】由，得由，即m20，解得m2；【考点】本题考查了利用实现实数运算与向量运；6、已知(2，1)，(0，2)且，则点C的坐标是 【提示】注意：向量平行、垂直的充要条件的坐标表示；【答案】.(2，6)；【解析】设C(x，y)，则(x2，y1)，(x，y2)，(2,1)，因为，所以，2(x2)0，因为，所以，2xy20，由可得所以，C(2,6).【考点】本题考查了利用向量平行、垂直的充要条件的坐标表示解决问题；7、已知向量，若向量，的夹角为，则实数_.【提示】注意：向量夹角公式的坐标表示；【答案】；【解析】因为，所以|2，|，3m，又，的夹角为，所以cos，即，所以
7、m，解得m.【考点】本题主要考查了借助向量夹角的坐标表示求参数的值；8、已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值为_【提示】注意：数形结合明确向量所成的角的大小；【答案】25.；【解析】方法1、(定义法)如图，根据题意可得ABC为直角三角形，且B，cos A，cos C，所以45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A201525.方法2：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)所以(3，0)，(0，4)，(3，4)所以30040，034(4)16，3(3)(4)09.所以016925.方法3、(转化法)因为|3，|4，|5，所以ABB
8、C，所以0，所以()|225.答案：25；【考点】本题通过一题多解展示了向量表示的多样性与工具性；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知与同向，；（1）求：的坐标；（2）若，求：及；【提示】注意：用好向量的坐标表示；【解析】（1）设(，2)(0)，则有410，所以，2，则(2，4)；（2）因为12210，10，所以，()0，()10(2，1)(20，10).【考点】本题考查了向量的坐标表示及其运算；平面向量数量积坐标运算的两条途径：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原
9、式展开，再依据已知条件计算；10、已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)；（1）求证：ABAD；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值；【提示】注意：在坐标系中数形结合；【解析】（1）证明：因为，A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，所以，(1,1)，(3,3).又因为，1(3)130，所以，即ABAD.（2）因为，四边形ABCD为矩形，所以，.设C点坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，所以，解得所以，C点坐标为(0,5)；由于(2,4)，(4,2)，所以，8816.又|2 ，|2 ，设与的夹角为，则cos 0，所以，矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.【考点】本题考查了利用向量的坐标表示解决存在与夹角问题；
