1、数列的综合应用(推荐时间：70分钟)1 已知数列an满足：a11，a2a(a0)数列bn满足bnanan1(nN*)(1)若an是等差数列，且b312，求a的值及an的通项公式；(2)若an是等比数列，求bn的前n项和Sn.解(1)an是等差数列，a11，a2a，an1(n1)(a1)又b312，a3a412，即(2a1)(3a2)12，解得a2或a.a0，a2.ann.(2)an是等比数列，a11，a2a(a0)，anan1，bnanan1a2n1.a2，数列bn是首项为a，公比为a2的等比数列当a1时，Snn；当a1时，Sn.综上，Sn2 在等比数列an中，a10，nN*，且a3a28，又
2、a1、a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4an，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得k对任意nN*恒成立若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由解(1)设数列an的公比为q，由题意可得a316.又a3a28，则a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，正整数k的最小值为3.3 已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解(1)由题知，当nkN*时，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故k216(kN*)，因此k4，从而a
3、nSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)设bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.4 (2012山东)在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，所以a428.设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，即a11，所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*，若9man92m，则9m89n92m8，因此9m11n9
4、2m1，故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).5 已知等差数列an的首项a14，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列an的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前三项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN，使对任意nN总有TnSm恒成立，求实数的最小值解(1)由a2a7a126得a72，又a14，所以公差d1，所以an5n，从而Sn.(2)由题意知b14，b22，b31，设等比数列的公比为q，则q，所以Tn8.因为f(n)n是关于自然数n的减函数，所以Tn是递增数列，得4Tn8.又Sm2，当m4或m5时，Sm取得最大值，即(Sm)maxS4S510，若存在mN，使对任意nN总有Tn0，.也为递增数列又1012，11.2512，则第9年年初需更新生产线
