1、本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1i 是虚数单位，则 i1i的虚部是()A.12i B12i C.12 D12解析 i1ii1i1i1i1i2 1212i.解析 答案 C答案 2若(xi)iy2i，x，yR，则复数 xyi()A2i B2iC12i D12i解析(xi)iy2i 即 xi1y2i，故 y1，x2，所以复数 xyi2i.解析 答案 B答案 3设 z 3i12i，则|z|()A2 B.3
2、 C.2 D1解析 z 3i12i 3i12i12i12i17i5，|z|152752 2.故选 C.解析 答案 C答案 4若 a，bR，则复数(a26a10)(b24b5)i 对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 复数对应点的坐标为(a26a10，b24b5)又因为 a26a10(a3)210，b24b5(b2)210，所以复数对应的点在第四象限解析 答案 D答案 5已知 z125i，z23i，z1，z2 的对应点分别为 P1，P2，则向量P2P1 对应的复数为()A56i B56iC56i D14i解析 P2P1 OP1 OP2，P2P1 对应的复数为 z1z2(
3、25i)(3i)56i.解析 答案 B答案 6已知复数 zabi(i 为虚数单位)，集合 A1,0,1,2，B2，1,1若 a，bAB，则|z|等于()A1 B.2 C2 D4解析 因为 AB1,1，所以 a，b1,1，所以|z|a2b2 2.故选 B.解析 答案 B答案 7复数12ii的共轭复数是 abi(a，bR)，i 是虚数单位，则点(a，b)为()A(2,1)B(2，1)C(1,2)D(1，2)解析 依题意，复数12ii2i 的共轭复数是 abi2i，点(a，b)即为(2,1)故选 A.解析 答案 A答案 8已知 i 为虚数单位，复数 z2i(2i)的实部为 a，虚部为 b，则 log
4、ab等于()A0 B1 C2 D3解析 z2i(2i)24i，a2，b4，logablog242.解析 答案 C答案 9已知复数 z1m2i，z234i，若z1z2为实数，则实数 m 的值为()A.83 B.32 C83 D32解析 因为z1z2m2i34im2i34i253m8254m625i，又z1z2为实数，所以4m6250，即 m32.解析 答案 D答案 10设 a，bR.“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B答案 解析 当 a0 时，若 b0，则 abi 是实数，不是纯虚数，因此“a0”不是“复数 a
5、bi 是纯虚数”的充分条件；而若 abi 是纯虚数，则实部为 0，虚部不为 0，可以得到 a0，因此“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要条件故“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要而不充分条件解析 11若 1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2bxc0 的一个复数根，则()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解析 因为 1 2i 是实系数方程 x2bxc0 的一个复数根，所以 1 2i 也是方程的根，则 1 2i1 2i2b，(1 2i)(1 2i)3c，解得 b2，c3.解析 答案 B答案 12复数 z 满足|z1|zi|，则复数 z 对应点的集合是()A直线 B
6、线段 C圆 D正方形解析 由复数模的几何意义可知复数 z 对应点的集合是到点 A(1，0)，点 B(0,1)距离相等的点的集合，即线段 AB 的垂直平分线，故选 A.解析 答案 A答案 第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上)13.若 i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是 1，复平面内点 Z表示复数 z，则复数z12i的共轭复数是_答案 i答案 解析 由图知 z2i，则z12i 2i12i 2i12i12i12ii，其共轭复数是i.解析 14复数3 52i23 5i 21i2020 的虚部为_解析 3 52i23
7、 5i 21i2020i3 5i223 5i 1i1010i1.解析 答案 1答案 15下面三个命题：0 比i 大；两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；xyi1i 的充要条件为 xy1.其中错误命题的序号是_解析 实数与虚数不能比较大小；两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；xyi1i 的充要条件为 xy1 是错误的，因为没有表明 x，y 是否是实数解析 答案 答案 16若复数 z 满足|zi|2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为_解析 设 zxyi(x，yR)，则由|zi|2可得x2y12 2，即 x2(y1)
8、22，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以 z 在复平面内所对应的图形的面积为 2.解析 答案 2答案 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知 z1i，若z2azbz2z1 1i，求实数 a，b的值解 z2azb(1i)2a(1i)bab(2a)i，z2z1(1i)2(1i)1i，z2azbz2z1(2a)(ab)i1i，由复数相等，得2a1，ab1，解得a1，b2.答案 18(本小题满分 12 分)已知复数 z12 32 i，其共轭复数为 z.(1)求复数1z的模；(2)求 z2 的值解(1)因为
9、复数 z12 32 i，所以1z112 32 i12 32 i12 32 i12 32 i12 32 i12232 i 212 32 i，所以1z 122 3221.(也可以先求 z 的模)答案 (2)由题意可得 z12 32 i，所以 z212 32 i 21434212 32 i12 32 i.答案 19(本小题满分 12 分)已知复数 z(2i)m2 6m1i2(1i)求实数 m取什么值时，复数 z 是：(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数解 由于 mR，所以复数 z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i.(1)
10、当2m23m20，m23m20，即 m2 时，z 为零(2)当 m23m20，即 m2 且 m1 时，z 为虚数(3)当2m23m20，m23m20，即 m12时，z 为纯虚数答案(4)当 2m23m2(m23m2)，即 m0 或 m2 时，z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数答案 20(本小题满分 12 分)已知复数 z1，z2 满足条件|z1|2，|z2|3，且 3z12z26，求复数 z1 和 z2.解 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 a2b24，c2d29，由 3z12z26，得(3a2c)(3b2d)i6，由复数相等，得3a2c6，3b2d0.答案 解
11、方程组 a2b24，c2d29，3a2c6，3b2d0，得a1，b 3，c32，d3 32或a1，b 3，c32，d3 32，所以z11 3i，z23232 3i或z11 3i，z23232 3i.答案 21(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点，已知向量OZ1，OZ2 分别对应复数 z1，z2，且 z1 3a5(10a2)i，z2 21a(2a5)i，aR.若 z1z2 可以与任意实数比较大小，求OZ1 OZ2 的值解 由题意，得 z1 3a5(10a2)i，则 z1z2 3a5(10a2)i 21a(2a5)i3a5 21a(a22a15)i.因为 z1z2 可以与任意实数比较大小，所
12、以 z1z2 是实数，所以 a22a150，解得 a5 或 a3.答案 又因为 a50，所以 a3，所以 z138i，z21i，所以OZ1 38，1，OZ2(1,1)，所以OZ1 OZ2 38(1)1158.答案 22(本小题满分 12 分)设 z1 是虚数，z2z11z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围；(2)若 1z11z1，求证：为纯虚数解(1)设 z1abi(a，bR 且 b0)，则 z2z11z1abi1abiaaa2b2 bba2b2 i.因为 z2 是实数，b0，于是有 a2b21，即|z1|1，还可得 z22a.由1z21，得12a1，解得12a12，即 z1 的实部的取值范围是12，12.答案(2)证明：1z11z11abi1abi1a2b22bi1a2b2 ba1i.因为 a12，12，b0，所以 为纯虚数答案
