1、7.3.1离散型随机变量的方差一、单选题1已知随机变量的分布列如下表，若，则（）PABCD2已知离散型随机变量X的方差为1，则=（）A2B3C4D53下列说法不正确的是（）A离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定B若a是常数，则D（a）0C离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度D随机变量的方差和标准差越小，则偏离变量的平均程度越小4甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（）A，B，C，D，5若数据的方差为8，则数据的方差为（）A1B2
2、C13D32二、多选题6（多选）下列说法中正确的是（）A离散型随机变量的数学期望反映了取值的概率的平均值B离散型随机变量的方差反映了取值相对于均值的离散程度C离散型随机变量的数学期望反映了取值的平均水平D离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值7若随机变量X的分布列如下，则（）X1234PABCD8若随机变量服从两点分布，且，则（）ABCD三、填空题9已知的分布列为：设，且，则的值为_10为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在“十一黄金周”期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（
3、单位：台），得到如下数据：4S店车型甲乙丙丁戊车型A6613811车型B1291364现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，则_.11随机变量的可能值，且，则D的最大值为_.四、解答题12甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量与，且的分布列为：123Pa0.40.4123P0.30.2b(1)求a，b的值；(2)计算的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.13某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示
4、优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若测为一级；若，则为二级，若，则为三级为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：编号编号(1)在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；(2)从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的均值和方差14在某公司的一次投标工作中，中标可以获利10万元，没有中标会损失成本费0.05万元，如果中标的概率是0.4，计算：(1)该公司赢利的方差；(2)该公司赢利的标准差参考答案：1C【解析】【分析】由期望公式可得，结合分布列的性质有，再应用方差公式求.
5、【详解】由题设，即，则，而，所以.故选：C2C【解析】【分析】根据给定条件，利用随机变量方差的性质计算作答.【详解】依题意，所以.故选：C3A【解析】【分析】根据离散型随机变量的方差的概念与意义判断即可；【详解】解：方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度，方差越大，随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为，故B 正确；标准差等于方差的算术平方根，故随机变量的方差和标准差越小，则偏离变量的平均程度越小，即D正确；故选：A4D【解析】【分析】的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出；的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出，由此能求出结果【详解】
6、解：由题意得的可能取值为1，2，3，则，所以，的可能取值为0，1，2，则，；，故选：D5B【解析】【分析】根据计算即可得解.【详解】解：因为数据的方差为，所以数据的方差为.故选：B.6BC【解析】【分析】由均值和方差的定义，均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，即可判断A、C是否正确；方差反映了随机变量取值的集中分散情况，即可判断B、D是否正确；即可得答案【详解】离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，故C正确，A错误；离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的离散程度，故B正确，D错误.故选：BC7ACD【解析】【分析】根据分布列的性质求得，判断A;由分布列得出，判
7、断B;根据随机变量的均值和方差的计算公式求得均值和方差，可判断C,D.【详解】因为，解得 ，故A正确，由分布列可知：，故B错误；由，故C正确；，故D正确，故选：ACD8AC【解析】【分析】由两点分布性质可知，根据数学期望和方差计算公式可判断AC的正误；根据均值和方差的性质可判断BD的正误.【详解】随机变量服从两点分布且，.对于A，A正确；对于B，B错误；对于C，C正确；对于D，D错误.故选：AC.9【解析】【分析】利用期望的性质可求得的值，计算出的值，再利用方差的性质可求得的值，进而可求得的值.【详解】由，得，解得又，所以，所以故答案为：.10【解析】【分析】根据题意可知X的所有可能取值为0，
8、1，2，再根据古典概型的概率公式分别求出对应的概率，然后根据方差公式即可求出【详解】由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0，1，2，且，所以，.故答案为：111【解析】【分析】由题意得到，利用概率范围求得p的范围，再利用期望和方差的公式求解.【详解】因为随机变量的可能值有1，2，3，且，所以，由，得所以.，当时，的最大值为故答案为：112(1)(2)；，；甲得分的稳定性比乙好【解析】【分析】（1）由离散型随机变量的分布列的性质可求（2）由离散型随机变量的分布列数学期望和方差公式，直接求解即可(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知，所以，同理(2)，由于说明一
9、次射击中，甲的平均得分与乙相同，但，说明甲得分的稳定性比乙好.13(1)(2)，【解析】【分析】（1）利用组合知识得到抽取的2人指标z相同的情况种数，及这10人中任取2人，所有的情况种数，利用古典概型求概率公式求解；（2）求出X的所有可能情况及相应的概率，得到分布列，计算出均值与方差.(1)由表可知，指标z为0的有A1，指标z为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，指标z为2的有A4，A6，A7在这10人中任取2人，所有的情况种数为，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为，所以抽取的2人指标z相同的概率(2)由题意得10人的综合指标如下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合
10、指标1446245353其中等级是一级的有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，等级不是一级的有A1，A5，A8，A10，共4个随机变量X的取值范围为，所以X的分布列为X12345P则14(1)24.2406(2)4.923【解析】【分析】（1）先利用离散型随机变量的性质能求出公司的平均盈利，再利用利用离散型随机变量的方差的计算公式能求出公司盈利的方差（2）利用离散型随机变量的方差能求出公司盈利的标准差(1)解： 在某公司的一次投标工作中，中标可以获利10万元，没有中标损失成本费0.05万元如果中标的概率是0.4，公司的平均盈利为（万元），所以公司盈利的方差：；(2)解：公司盈利的标准差为
