1、课时达标训练（十九）即时达标对点练题组1平面的法向量1已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1，1，1) B(1，1，1)C(1，1，1) D(1，1，1)2已知a(2，4，3)，b(1，2，4)是平面内的两个不共线向量如果n(1，m，n)是的一个法向量，那么m_，n_题组2利用空间向量证明平行问题3若两个不同平面，的法向量分别为u(1，2，1)，v(3，6，3)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确4已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，且l，则m_5若 (，R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_6如图，在四棱
2、锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，PA底面ABCD，PA2，点M为PA的中点，点N为BC的中点，AFCD于F，如图建立空间直角坐标系求出平面PCD的一个法向量并证明MN平面PCD.题组3利用空间向量证明垂直问题7若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为u(2，0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交8若两个不同平面，的法向量分别为u(2，1，1)，v(3，2，8)，则()A BC，相交不垂直 D以上均不正确9在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：DB1平面A1BC1.10在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点
3、，且BEECPFFB12.(1)求证：平面GEF平面PBC；(2)求证：EGBC，PGEG.能力提升综合练1若平面、的法向量分别为a，b(1，2，6)，则()A B与相交但不垂直C D或与重合2直线l的方向向量为a，平面内两共点向量下列关系中能表示l的是()3已知平面内有一个点A(2，1，2)，它的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1，1) B.C. D.4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这
4、四个结论中正确的个数为()A1 B2 C3 D45已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_6在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1，2cos 2x2，0)和点Q(cos x，1，3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_7如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.8如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形A
5、BCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.答 案即时达标对点练1. 解析：选D(1，1，0)，(1，0，1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故一个法向量是(1，1，1)2. 解析：由已知可得即解得m，n0.答案：03. 解析：选Av3u，.4. 解析：l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m，1)2m20.解得m8.答案：85. 解析： (，R)，AB平面CDE或AB平面CDE.答案：AB平面CDE或AB平面CDE6. 证明：由题设知，在RtAFD中，AFFD
6、，A(0，0，0)，B(1，0，0)，F，D，P(0，0，2)，M(0，0，1)，N.，.设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，令z，得n(0，4，)因为n(0，4，)0，又MN平面PCD，所以MN平面PCD.7. 解析：选Bu2a，ua.又u为平面的法向量，l.8. 解析：选Bvu6280.vu，.9. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，故(0，1，1)，(1，1，0)，(1，1，1)设平面A1BC1的法向量n(x，y，z)，则n，n.故n0，n0.即yz0，xy0.可设n(1，1，1
7、)，故有n.所以DB1平面A1BC1.10. 证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设PAPBPC3，则A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0，3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)，G(1，1，0)、P(0，0，0)，而PA平面PBC，FG平面PBC.又FG平面GEF，平面GEF平面PBC.法二：可得(0，1，1)，(1，1，1)设平面GEF的法向量是n(x，y，z)，则有n，n，令y1，得z1，x0，即n(0，1，1)显然(3，0，0)是平面PBC的一个法向量又n0，n.平面GEF平面PBC.EGPG，EGB
8、C.能力提升综合练1. 解析：选Dab，ab，或与重合2. 解析：选DA、B、C均表示l或l.3. 解析：选B要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验对于选项A，(1，0，1)，则n(1，0，1)(3，1，2)50，故排除A；对于选项B，则n(3，1，2)0.4.又B1Q与D1P不平行，故不正确5. 解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确答案：6. 解析：由OPOQ，得即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或7. 证明：以D为
9、坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.，x0，即xyz0.x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，取z11，则n1(1，1，1)又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，取z21，则n2(1，1，1)PB平面EFD.8. 证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M，.(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，得令y2，得n(，2，1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2，1)，(，2，1)PBAB，BEPA.又(，2，1)(2，3，0)0，.即BEDA.又PADAA，BE平面PAD.BE平面PAB，平面PAB平面PAD.
