1、6.2.2向量的减法运算 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第六章平面向量及其应用的第二节平面向量的运算。以下是本节的课时安排：第二节 平面向量的运算课时内容向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的数量积所在位置教材第7页教材第11页教材第13页教材第17页新教材内容分析向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算
2、和加法运算之间的内部联系。实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。核心素养培养通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数
3、乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.教学主线平面向量的运算本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念，相等向量、共线向量的特点，及其向量加法运算的基础上，进一步对向量减法运算及其几何意义进行研究。 1.理解相反向量的含义，借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，培养直观想象的核心素养；2.掌握平面向量减法运算及运算规则，提升数学抽象的核心素养；3.能运用向量的加法
4、和减法运算解决相关问题，提升数学运算的核心素养；重点：理解并掌握向量减法的三角形法则难点：向量减法的几何意义及运算律（一）新知导入1. 创设情境，生成问题我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”我们能否类似地定义向量的减法呢？【想一想】1、类比实数X的相反数-X，对于向量a，你能定义“相反向量”-a吗？它有哪些性质？2、 你认为向量的减法该怎样定义？提示向量的减法也有类似法则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.2.探索交流，解决问题【思考1】方向相同或相反的两个向量称为什么向量?方向相同,模相等的两个向量称为
5、什么向量?【提示】方向相同或相反的两个向量叫做共线向量,方向相同,模相等的两个向量称为相等向量.【设计意图】从具体实例出发结合图形思考问题，从中发现向量减法的运算法则。 （二）向量的减法运算1.相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.性质：a和a互为相反向量，-a=a。零向量的相反向量仍是零向量。由两个向量的和的定义可知：a(a)(a)+a =0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。若a，b互为相反向量，则ab，ba，ab0。2.向量的减法(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b)。求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量
6、的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.【探究】利用平行四边形法则求ab，那么你能结合相反向量的概念，求作出a(b)吗？【提示】过点C作a，以CD，CA为邻边作CAED，由于b，于是a(b).又a，所以四边形ABCE为平行四边形，所以，所以a(b).(2)几何意义：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab.如图所示 ab表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.记忆口诀：作平移，共起点，两尾连，指被减。【思考1】若a，b是不共线的向量，则|ab|与|ab|的几何意义是什么？提示如图所示，设a，b，则ab，ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以|ab|，|ab|，分别是以O
7、A，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.【思考2】|a|b|ab|a|b|中，等号何时成立？提示(1)当向量a，b不共线时，|a|b|ab|a|b|；(2)当向量a，b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a，b共线且反向时，后一个等号成立.【设计意图】通过探究让学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养。（三）典型例题1.向量减法法则的应用例1.(1)在ABC中，a，b，则等于()Aab Ba(b) Cab Dba(2)如图所示，O为ABC内一点，a，b，c，求作向量bca.解析：(1)aba(b)(2)以，为邻边作OBDC，连接OD，AD，则bc，bca.答案：(1)B【类题通法】求
8、作两个向量的差向量的两种思路(1)用向量减法的三角形法则作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”(2)利用相反向量作两向量差的方法作向量ab时，先作向量a，再作b，则向量a(b)ab.【巩固练习1】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解析：法一：如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.法二：如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.2.向量的加减法运算例2.(1)向量可以写成：；.其中正确的是_(填序号).解析；()；，故填.答案(2)化简：；()().解()().()()0.【类题通法】1.向量减法运
9、算的常用方法2.向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差.解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.【巩固练习2】化简下列式子：(1)；(2)()().解(1)原式0.(2)原式()()0.3.向量加减法的应用例3.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，.解因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，故bac.【变式探究1】本例条件不变，试用向量a，b，c表示与.解ca，cb.【变式探究2】本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，
10、其结论又如何呢？解因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，bac.【类题通法】用向量表示其他向量的方法(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.【巩固练习3】如图所示，解答下列各题：(1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示； (4)用c，d表示.解(1)deaade.(2)bc.(3)abe.(4)()cd.（四）操作演练 素养提升1.化
11、简所得的结果是()A. B. C.0 D.2.在四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD是()A菱形 B矩形 C正方形D不确定3._.4.若菱形ABCD的边长为2，则|的长度为_.答案：1.C 2.B 3. 4.2 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第12页 练习 第1，2，3题 第22 页 习题6.2 第4,7题
