1、 5.3 概 率 5.3.3 古典概型 第五章 统计与概率 学习目标 1.理解古典概型的定义，掌握古典概型的 概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的样本点的个 数及事件发生的概率.重点：利用古典概型求概率.难点：求随机事件所含的样本点的个数及事件发生的概率 知识梳理 1.古典概型的概念及其计算公式（1）基本事件 只含有一个样本点的事件称为基本事件.一次试验中只能出现一个基本事件.（2）古典概型 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（有限性），而且每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
2、2.古典概型的计算公式 古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为1.如果事件A包含有m个样本点，因为这m个样本点相应的基本事件两两互斥，由互斥事件的概率加法公式可知P（A），即有 古典概型的概率公式P（A）事件包含的样本点数样本空间包含的样本点数.3.古典概型的判断 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.注意以下两种情况不是古典概型
3、：（1）样本点个数有限，但非等可能，如种子发芽问题.（2）样本点个数无限，但等可能，如从区间1，10内任意取出一个实数.题型一 古典概型的判断 例1判断下列试验是不是古典概型：（1）口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；（2）从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；（3）射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数.【解题提示】运用古典概型的两个特征逐个判断即可.常考题型【解】（1）每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球.显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型.（2）从5
4、名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊.因此该试验是古典概型.（3）射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，脱靶5次.这都是样本点，但不是等可能事件.因此该试验不是古典概型.【归纳总结】古典概型的两个特点（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的.必须这两个特点都具备，才是古典概型。训练题1.题下列试验中是古典概型的是（）A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点，
5、观察该点落在圆内的位置D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，命中0环题型二 古典概型的概率计算公式 例2.2017山东卷某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.【解题提示】先判断试验是否为古典概型，再写出样本空间 及包含的样本点总数n，再求出随机事件A包含的样本点个数m，代入概率公式计算即可.【解】（1）由题意知，“从6个国家中任选2个国家”所包含的样本点有（A1，A
6、2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共15个.事件“所选2个国家都是亚洲国家”所包含的样本点有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个，则所求事件的概率为31155.（2）“从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个”所包含的样本点有（A1，B1），（A1，B 2），（A 1，B 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，B3
7、），共9个.事件“包括A1但不包括B1”所包含的样本点有（A1，B2），（A1，B3），共2个，故所求事件的概率为29.训练题2.掷一枚骰子，给出下列事件：A出现奇数点，B出现偶数点，C出现的点数小于3，D出现的点数大于2，E出现的点数是3的倍数.求：（1）AB，BC；（2）AB，BC.【解】（1）ABBC出现2点.（2）AB出现1，2，3，4，5或6点，BC出现1，2，4或6点.题型三 互斥事件与对立事件的判断 例32019河北张家口校级月考某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不
8、订”.判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.【解题提示】判断两个事件是否互斥，就是判断它们在一次试验中是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就是判断它们在一次试验中是否必有一个发生.【解】（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.（3）事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不
9、订甲报”，即事件B发生，事件D也有可能发生，故B与D不是互斥事件.（4）事件B“至少订一种报”中有如下可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有如下可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”是事件C的一种可能，所以事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件.【归纳总结】若事件A与事件B互为对立事件，那么A、B为互斥事件，且AB为必然事件，所以P（AB）P（A）+P（B）1，即P（A）1-P（B）.应特别注意：两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥.只有事件
10、A，B互斥时，才有公式P（AB）P（A）+P（B）.P（A）+P（B）1，则事件A与事件B不一定对立，因为事件A与事件B不一定互斥.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）+P（B）1.但是事件A与事件B不互斥，显然也不对立.训练题3（1）2019浙江温州高一月考从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：恰有一个数是奇数和恰有一个数是偶数；至少有一个数是奇数和两个数都是奇数；至少有一个数是奇数和两个数都是偶数；至少有一个数是奇数和至少有一个数是偶数.其中，为互斥事件的是（）A.B.C.D.（2）2019广东珠海高一
11、检测一人在练习射击时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.两次都不中靶D.只有一次中靶题型四 事件的混合运算【例4】从某大学数学系图书室中任选一本书.设A数学书；B中文版的书；C2000年后出版的书.问：（1）ABC 表示什么事件？（2）在什么条件下有ABCA？（3）C B表示什么意思？（4）如果 AB，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？【解】（1）ABC 2000年或2000年前出版的中文版的数学书.（2）在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABCA.（3）C B表示2000年或2000年前出
12、版的书全是中文版的.（4）是，A B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书.同时AB又可等价成 B A，因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书.【归纳总结】从集合的角度理解互斥事件与对立事件（1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.（2）由事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A组成的集合的补集.事件的运算律（1）交换律：A+BB+A，ABBA.（2）结合律：（A+B）+CA+（B+C），（AB）CA（BC）.（3）分配律：A（B+C）AB+AC.（4）对偶律：AB AB，AB
13、A+B.这个对偶律的意义是，“A，B至少有一个发生”的对立事件是“A，B均不发生”，“A，B均发生”的对立事件是“A，B至少有一个不发生”.训练题4.已知随机事件E为“掷一枚骰子，观察点数”，事件A表示“点数小于5”，事件B表示“点数是奇数”，事件C表示“点数是偶数”.（1）事件A+C，AC分别表示什么？（2）事件 A，AC，A+C ，A C 分别表示什么？解：由Venn 图可解释各事件的含义，如图.（1）事件A+C表示“掷一枚骰子，点数小于5或是偶数”，即出现的点数为1，2，3，4，6；事件AC表示“点数是2或4”.（2）事件 A表示事件A不发生，即“掷一枚骰子，点数不小于5”，即“出现5点或6点”.事件 AC表示事件A与C都不发生，即“出现点数5”.事件 A+C 表示事件A不发生或者事件C不发生，即“掷一枚骰子，点数为1，3，5，6”.事件 A C 也表示事件A，C都不发生，即“出现点数5”.小结 1.随机试验的所有基本事件构成基本事件空间，基本事件空间中作为 集合的所有非空真子集都是随机事件。2.随机事件的运算律类似于集合的运算律，学习是要经常的进行对比才能正确地记忆它们的关系。3.从集合的角度讲，互斥事件的交集为空集，即两个事件的基本事件没有公共部分。对立事件是特殊的互斥事件，两个互为对立事件的概率的和等于1，反过来概率和为1的两个事件如果不是互斥事件，就不是对立事件。
