1、6.1.5向量的线性运算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律2理解向量线性运算的定义及运算法则(重点)3能利用向量的线性运算解决简单问题(难点)1.通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养2借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养.如图，M为ABC的边AB的中点问题1：能用，表示吗？若能，请表示出.提示().问题2：若O为任意一点，M为AB的中点，是否有类似的结论？提示().问题3：(ab)ab是否一定成立？提示一定成立1向量的加法与数乘向量的混合运算向量的减法可化成向量的加法：aba(b)(1)运算规则一般地，
2、一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法(2)运算律一般地，对于实数与，以及向量a，有aa()a.一般地，对于任意实数，以及向量a与b，有(ab)ab.2向量的线性运算结果仍为向量(1)定义向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算(2)运算法则向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)实数与向量a，则a与a的和是向量()(2)对于非零向量a，向
3、量3a与向量a方向相反()(3)(ab)ab.()(4)aa与()a的方向都与a的方向相同()(1)(2)(3)(4)(1)a与a均无意义(2)因为30，所以正确(4)只有当是正数时，aa与()a的方向才都与a的方向相同2下列计算正确的个数是()(3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A0B1C2D3C(3)2a6a，故正确；2(ab)(2ba)2a2b2ba3a，故正确；(a2b)(2ba)a2b2ba0，故错误34(ab)3(ab)b()Aa2b Ba Ca6bDa8bD4(ab)3(ab)b4a4b3a3bba8b.4已知e是单位向量，a2e，b3e，则|a2b
4、|_.8由题意得a2b8e，故|a2b|8.向量的线性运算【例1】(1)化简：(2a3bc)(3a2bc)_.(2)已知向量a，b，x，且(xa)(bx)x(ab)，则x_.思路探究(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简(2)可类比解方程方法求解(1)a5b2c(2)0(1)(2a3bc)(3a2bc)2a3a3b2bcca5b2c.(2)因为(xa)(bx)x(ab)，所以2xabxab，即x0.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看
5、作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算1若已知向量a，b满足(3a2c)4(a6b)0，则c_.6a6b(3a2c)4(a6b)acc4ba6b2a2bc0，所以c2a2b，c6a6b.三点共线问题【例2】(教材P150例6改编)设a，b是不共线的两个非零向量，若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线思路探究利用向量共线条件解答解由题意，得(3ab)(2ab)a2b，(a3b)(3ab)2a4b2，所以与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线证明三点共线，往往要转化为证明
6、过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分2已知非零向量e1，e2不共线如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线证明因为e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线向量的线性运算在平面几何中的应用探究问题1怎样理解a的几何意义？提示a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍2如何用已知向量表示所求向量？提示在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合图
7、形的有关性质及联想到相关的法则来求【例3】如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.思路探究解答本题可先将，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，.解设x，y，则x，y.由，得用2乘以与相加得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即e2e1.同理得y(2e1e2)，即e1e2.1由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用2当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解3如图所示，在ABCD中，E，F分别是B
8、C，DC的中点，若a，b，试用a，b表示和.解babab；abaab.一、知识总结1向量的线性运算要注意使用运算律展开括号，合并向量等2注意证向量共线与证三点共线的差别二、方法归纳几何问题代数化三、常见误区三点共线时有公共点1如图，已知a，b，3，用a，b表示，则()AabBabCab DabD3，(ba)，a(ba)ab.2化简：的结果是()A2ab B2ba Cba DabB原式(a4b4a2b)(6b3a)2ba.3O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_.(或)设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e22e1.4已知e是单位向量，且a3e，b2e，则|a3b|_.3|e|1，a3e，b2e，|a3b|3e6e|3e|3|e|3.5如图，在ABC中，a，b，AD为边BC的中线，G为ABC的重心，求向量.解a，b，AD为边BC的中线，则b，ab，而，ab.
