1、5.电磁感应中的能量转化与守恒 必备知识自主学习如图示“摇晃”手电筒发光时,能量是如何转化的? 提示:机械能转化为电能。(1)能量守恒是自然界的一条普遍规律,在电磁感应现象中同样遵守能量转化和守恒。(2)在电磁感应中,产生的电能是通过外力克服安培力做功转化而来的,外力克服安培力做多少功,就有多少电能产生,而这些电能又通过感应电流做功,转化为其他形式的能量。 关键能力合作学习知识点一电磁感应与能量守恒1.电磁感应中的能量转化:(1)电磁感应现象中,感应电流的能量(电能)不能无中生有,只能从其他形式的能量转化过来,外力克服安培力做功,正是这部分能量转化的量度。(2)当条形磁铁靠近线圈时,线圈中感应
2、电流产生的磁场对条形磁铁产生斥力,阻碍条形磁铁的靠近,必须有外力克服这个斥力做功,它才能靠近线圈。(3)当条形磁铁离开线圈时,感应电流产生的磁场对磁铁产生引力,阻碍条形磁铁的离开,必须有外力克服引力做功,它才能远离线圈。(4)外力克服安培力做功的过程就是其他形式的能转化为电能的过程。2.用功和能的观点分析电磁感应的基本思路:受力分析弄清哪些力做功(正功还是负功)明确有哪些形式的能量参与转化(哪些增哪些减)由动能定理或能量守恒定律列方程求解;其能量转化特点:安培力做功与克服安培力做功,对应的能量转化相同吗?分别是怎样的转化?提示:不同。安培力做功对应电能转化为其他形式的能,克服安培力做功对应其他
3、形式的能转化为电能。【典例】足够长的平行金属导轨MN和,与水平面之间的夹角为,间距为L。垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度为B,M、P间接有阻值为R的电阻,质量为m的金属杆ab垂直导轨放置,其他电阻不计。如图所,使金属杆由静,经过时间t 金属杆的速度为v1,时间t 内金属杆的位移为x,(重力加速度为g)求: (1)金属杆速度为v1时加速度的大小。(2)整个系统在时间t 内产生的热量。【审题关键】序号信息提取金属杆和导轨间有摩擦力F大小和方向都不变金属杆所受合力为零【解析】(1)设金属杆和导轨间的动摩擦因数为,当杆运动的速度为vm时,有:F+mgsin -mgcos =0当杆的速度为v1时
4、,有:F+mgsin -mgcos =ma,解得a=(2)经过时间t 金属杆的速度为v1,时间t 内金属杆的位移为x,由能量守恒得,整个系统产生的焦耳热为Q1=Fx+mgxsin -mgxcos -m=-m。答案:(1)(2)-m求解焦耳热Q的几种方法1. (多选)两根光滑的金属导轨,平行放置在倾角为的斜面上,导轨的下端接有电阻R,导轨自身的电阻可忽略不计。斜面处在一匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab,在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑,并上升h高度,如图所示。在这过程中() A.作用于金属棒上的各力的合力所做的功等于零B.作用于金属棒上的各力的合力
5、所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和C.恒力F与安培力的合力所做的功等于零D.恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热【解析】选A、D。金属棒匀速上升过程中,根据动能定理得:WF-WG-W安=0,注意克服安培力所做功即为回路电阻中产生的热量,故有:金属棒上的各个力的合力所做的功等于零,A正确,B错误;恒力F与安培力合力做的功等于克服重力所做的功,故C错误;恒力F与重力的合力所做的功等于克服安培力所做的功,即等于电阻R上产生的焦耳热,故D正确。2. (2020遵义高二检测)如图所示,两光滑金属导轨,接有电阻R,间距为d,导轨放在桌面上的部分是水平的,仅在桌面的区域内有磁感应强度
6、为B,方向竖直向下的匀强磁场,桌面高为H,金属杆ab质量为m,电阻为r,从导轨上距桌面高度为h的地方由静止开始释放,落地点距桌面左边缘的水平距离为s,重力加速度为g,导轨电阻不计,求: (1)整个过程中R上的最大瞬时电流;(2)整个过程中电阻r产生的焦耳热。【解析】(1)金属棒刚进入磁场时电流最大,设金属杆刚进入磁场时速度为v0,由机械能守恒定律有:mgh=m,又由法拉第电磁感应定律有:E=Bdv0,由闭合电路欧姆定律有:I=,联立得:I=。(2)设金属杆刚离开磁场时速度为v,接着金属杆开始做平抛运动,在竖直方向上有:H=gt2,在水平方向上有:s=vt,根据能量守恒有:Q=m-mv2,电磁感
7、应过程中电阻r上产生焦耳热为:Qr=Q,联立得:Qr=。答案:(1)(2)【加固训练】图示为固定在水平桌面上的两根足够长相距为L、电阻不计的金属平行轨道P、Q,在轨道左端固定一根导体棒a,轨道上放置另一根质量为m的导体棒b,两导体棒的电阻均为R,该轨道平面处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。t=0时刻给b棒一个大小为v、沿轨道向右运动的初速度,在b棒运动的过程中,b棒产生的焦耳热为Q。求: (1)t=0时刻,b棒两端的电压;(2)b棒运动的整个过程中与轨道摩擦所产生的热量。【解析】(1)由法拉第电磁感应定律可知:E=BLv又因为a、b两棒的电阻相等,所以t=0时刻b棒两端的电压U
8、=;(2)由功能关系可知:mv2=2Q+Qf解得:Qf=mv2-2Q答案:(1)(2)mv2-2Q知识点二电磁感应中的力学问题1.导体中的感应电流在磁场中将受到安培力作用,所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起,处理此类问题的基本方法:(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向。(2)求回路中的电流大小和方向。(3)分析研究导体受力情况(包括安培力)。(4)列动力学方程或平衡方程求解。2.电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题,关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析:周而复始地循环,达到稳定状态时,加速度等于零,导体达到稳定运动状态。3.两种运动状态的处理思路:(1)达
9、到稳定运动状态后,导体匀速运动,受力平衡,应根据平衡条件合外力为零,列式分析平衡态。(2)导体达到稳定运动状态之前,往往做变加速运动,处于非平衡态,应根据牛顿第二定律或结合功能关系分析非平衡态。如图所示为“单杆+倾斜导轨”模型,匀强磁场与导轨垂直,磁感应强度为B,导轨间距为L,导体棒质量为m,电阻为R,导轨光滑,电阻不计。(1)分析ab棒由静止释放后加速度和速度的变化情况。提示:棒ab释放后下滑,此时a=gsin ,棒ab速度v增大感应电动势E=BLv增大电流I=增大安培力F=BIL增大加速度a减小,当安培力F=mgsin 时,a=0,v最大。(2)分析收尾状态的运动特征和电学特征。提示:运动
10、特征:a=0,vmax=电学特征:电流恒定【典例】 (多选)(2020全国卷)如图,U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上,ab和dc边平行,和bc边垂直。ab、dc足够长,整个金属框电阻可忽略,一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上,用水平恒力F向右拉动金属框,运动过程中,装置始终处于竖直向下的匀强磁场中,MN与金属框保持良好接触,且与bc边保持平行。经过一段时间后() A.金属框的速度大小趋于恒定值B.金属框的加速度大小趋于恒定值C.导体棒所受安培力的大小趋于恒定值D.导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值【解析】选B、C。由bc边切割磁感线产生电动势,形成电流,使得导体棒MN受到向右的
11、安培力,向右做加速运动,bc边受到向左的安培力,向右做加速运动。当MN运动时,金属框的bc边和导体棒MN一起切割磁感线,设导体棒MN和金属框的速度分别为v1、v2,则电路中的电动势E=BL(v2-v1),导体棒中的电流I=,金属框受到的安培力F安框=,与运动方向相反,导体棒MN受到的安培力F安MN=,与运动方向相同。设导体棒MN和金属框的质量分别为m1、m2,则对导体棒MN根据牛顿第二定律有=m1a1,对金属框abcd根据牛顿第二定律有F-=m2a2。因初始速度均为零,则a1从零开始逐渐增加,a2从开始逐渐减小,当a1=a2时,解得金属框相对金属棒的速度为v2-v1=,则v2-v1大小恒定,结
12、合=m1a1、F安MN=可知,金属框的加速度大小趋于恒定值,导体棒所受安培力大小也趋于恒定值,故选项B、C正确;整个运动过程可用速度-时间图像描述,如图,则金属框的速度会一直增大,导体棒到金属框bc边的距离也会一直增大,故选项A、D错误。电磁感应中力学问题的解题技巧(1)将安培力与其他力一起进行分析。(2)要特别注意安培力的大小和方向都有可能变化,不像重力或其他力一样是恒力。(3)列出稳定状态下的受力平衡方程往往是解题的突破口。(多选)如图所示,电阻不计的平行导轨竖直固定,上端接有电阻R,高度为h的匀强磁场与导轨平面垂直。一导体棒从磁场上方的A位置释放,用x表示导体棒进入磁场后的位移,i表示导
13、体棒中的感应电流大小,v表示导体棒的速度大小,Ek表示导体棒的动能,a表示导体棒的加速度大小,导体棒与导轨垂直并接触良好。以下图像可能正确的是()【解析】选A、C。导体棒进入磁场之后受到向上的安培力和重力作用,进入时安培力可能大于重力,也可能等于重力,还可能小于重力,即进入时可以是加速、匀速、减速运动。当进入时安培力大于重力时,即减速进入时,i=,则进入时电流减小,同时安培力F=也减小,当安培力减小到等于重力时,则导体棒做匀速运动,则电流不变,离开磁场后电流为零,故选项A正确;当进入时安培力大于重力时,即减速进入时,根据动能定理-Fx+mgx=Ek-Ek0,则Ek=-Fx+mgx+Ek0,由于
14、安培力F不是恒定的,所以Ek-x图像不是直线,故选项B错误;当进入时安培力等于重力时,导体棒的加速度为零,离开磁场后为重力加速度g,故选项C正确;当进入时安培力大于重力,则导体棒进入磁场时速度减小,同时根据牛顿第二定律-mg=ma,可以知道进入时加速度也是减小的,但是当导体棒离开磁场之后只受到重力作用,则离开磁场后做加速运动,加速度为重力加速度g,故选项D错误。所以本题正确选项为A、C。【加固训练】1.如图所示,固定在水平桌面上的金属框架edcf处在垂直于纸面向内的匀强磁场中,金属棒ab搁在框架上,可无摩擦滑动,此时adcb 构成一个边长为l的正方形,棒的电阻为r,其余部分电阻不计,开始时磁感
15、应强度为B0。(1)若从t=0时刻起,磁感应强度均匀增加,每秒增量为k,同时保持棒静止。求棒中的感生电流大小及方向。(2)在上述(1)情况中,始终保持棒静止,当t=t1时需加的垂直于棒的水平拉力为多大?(3)若从t=0时刻起,磁感应强度逐渐减小,当棒以恒定速度v向右做匀速运动时,可使棒中不产生感生电流。则磁感应强度应怎样随时间变化(写出B与t的关系式)?【解析】(1)感应电动势E=kl2,感应电流I=,由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针。(2)t=t1时,B=B0+kt1,F=BIl,所以F=(B0+kt1)。(3)使棒中不产生感应电流,则应保持总磁通量不变,即Bl(l+vt)=B0l2,所
16、以B=。答案:(1)感应电流方向为逆时针(2)(B0+kt1)(3)B=2.如图所示,电动机通过其转轴上的绝缘细绳牵引一根原来静止的长为L=1 m,质量m=0.1 kg 的导体棒ab,导体棒紧贴在竖直放置、电阻不计的金属框架上,导体棒的电阻R=1 ,磁感应强度B=1 T的匀强磁场方向垂直于导体框架所在平面。当导体棒在电动机牵引下上升h=3.8 m时,获得稳定速度,此过程中导体棒产生热量Q=2 J。电动机工作时,电压表、电流表的读数分别为U=7 V和I=1 A,电动机的内阻r=1 。不计一切摩擦,g取10 m/s2。求: (1)导体棒所达到的稳定速度是多少?(2)导体棒从静止到达稳定速度的时间是
17、多少?【解析】(1)导体棒在电动机牵引力的作用下,先做加速度减小的加速运动,后做匀速运动,达到稳定状态,此时棒受力平衡,即绳的牵引力与重力、安培力平衡。导体棒匀速运动时,合力为零,则有:F-mg-BIL=0对于电动机,根据能量守恒知:Fv=UI-I2r导体棒产生的感应电流I=联立得:=mg+化简并代入数据得v=2 m/s(2)设导体棒从静止到达稳定速度的时间是t,由能量守恒定律得(UI-I2r)t=mgh+mv2+Q,代入数据得t=1 s答案:(1)2 m/s(2)1 s【拓展例题】考查内容:电磁感应中的图像问题 【典例】将一段导线绕成图甲所示的闭合回路,并固定在水平面(纸面)内。回路的ab边
18、置于垂直纸面向里的匀强磁场中。回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场,以向里为磁场的正方向,其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示。用F表示ab边受到的安培力,以水平向右为F的正方向,能正确反映F随时间t变化的图像是()【解析】选B。根据图乙可知,在0时间内,先是向里的磁通量均匀减小,然后向外的磁通量均匀增加,根据法拉第电磁感应定律E=S和楞次定律可知,这段时间内感应电流恒定不变,感应电流方向由b向a,由左手定则可以判定,0时间内,ab边受到恒定的水平向左的力F;同理可以判定,在T时间内,先是向外的磁通量均匀减小,然后向里的磁通量均匀增加,这段时间内ab边中将产生恒定的由a向b的感应电流,根据左
19、手定则不难判断,这段时间内ab边受到恒定的水平向右的力F,因此,只有选项B正确。 课堂检测素养达标1. (多选)如图所示,两条电阻不计的平行导轨与水平面成角,导轨的一端连接定值电阻R1,匀强磁场垂直导轨平面向上。一根质量为m、电阻为R2的导体棒ab,垂直导轨放置且两端始终与导轨接触良好,导体棒与导轨之间的动摩擦因数为,且R2=nR1。如果导体棒以速度v匀速下滑,导体棒此时受到的安培力大小为F,则以下判断正确的是() A.电阻R1消耗的电功率为B.重力做功的功率为 mgvsinC.运动过程中减少的机械能全部转化为电能D.R2上消耗的功率为【解析】选B、D。导体棒以速度v匀速下滑时,由E=BLv、
20、I=,F=BIL,推导出F=电阻R1消耗的电功率为P1=I2R1=()2R1又R2=nR1以上各式联立解得:P1=,故A错误;根据瞬时功率表达式:P=Fvcos(其中为F与v之间的夹角)可知,重力做功的功率为:P=mgvcos(-)=mgvsin,故B正确;根据能量守恒定律可知:运动过程中减少的机械能转化为电能和摩擦产生的热量,故C错误;电阻R2消耗的热功率为P2=I2R2=()2R2结合以上分析可知P2=,故D正确。故选B、D。2.如图所示,两条相距L的足够长的平行光滑导轨放置在倾角为=30的斜面上,阻值为R的电阻与导轨相连,质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置,整个装置在垂直于斜面向下的匀强
21、磁场中,磁感应强度的大小为B。轻绳一端与导体棒相连,另一端跨过定滑轮与一个质量为m的物块相连,且滑轮与杆之间的轻绳与斜面保持平行,物块距离地面足够高,导轨、导体棒电阻不计,轻绳与滑轮之间的摩擦力不计,重力加速度为g。从将物块由静止释放,到经过时间t达到最大速度的过程中,下列说法正确的是()A.导体棒M端电势高于N端电势B.导体棒的加速度可能大于gC.通过导体棒的电荷量为-D.导体棒运动的最大速度大小为【解析】选C。将物块由静止释放,则物块向下运动,导体棒沿斜面向上运动,由右手定则可知导体棒中电流由M到N,导体棒M端电势低于N端电势,故A错误;设导体棒的上升速度为v,根据E=BLv,I=可知导体
22、棒所受安培力为FA=BIL=根据牛顿第二定律可得mg-mgsin30-=2ma当导体棒的上升速度为零时,导体棒的加速度最大,最大加速度为amax=g当导体棒的上升加速度为零时,导体棒的速度最大,最大速度为vmax=,故B、D错误;对整体由动量定理得(mg-mgsin30)t-BLt=2mvmax即-BqL=2m解得q=-,故C正确。故选C。3.(2020内江高二检测)一个半径为r、质量为m、电阻为R的金属圆环,用一根长为L的绝缘细绳悬挂于O点,离O点下方处有一宽度为、垂直纸面向里的匀强磁场区域,如图所示。现使圆环从与悬点O等高位置A处由静止释放(细绳张直,忽略空气阻力),摆动过程中金属圆环所在
23、平面始终垂直磁场,则在达到稳定摆动的整个过程中金属圆环产生的热量是()A.mgLB.mg(+r)C.mg(+r)D.mg(L+2r)【解析】选C。当圆环摆动时,由于不断地进出磁场切割磁感线产生感应电流,消耗机械能,高度逐渐降低;当圆环在磁场下方摆动,不再进入磁场时,摆动稳定,金属圆环中产生的焦耳热等于圆环减少的机械能,由能量守恒定律得Q=mg(+r)=mg(+r),故C正确,A、B、D错误。故选C。4. (2020三明高二检测)如图所示,相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为,上端接有定值电阻R,匀强磁场垂直于导轨平面,磁感应强度为B。将质量为m的导体棒由静止释放,当速度达到v
24、时开始匀速运动,此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,并保持拉力的功率为P,导体棒最终以2v的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好,不计导轨和导体棒的电阻,重力加速度为g,下列说法中正确的是() A.P=3mgvsinB.导体棒在速度达到v后做加速度增大的加速运动C.当导体棒速度达到v时加速度为sinD.在速度达到2v以后匀速运动的过程中,R上产生的焦耳热等于拉力所做的功【解析】选C。当速度达到v时开始匀速运动,受力分析可得mgsin=,导体棒最终以2v的速度匀速运动时,拉力为F=mgsin,所以拉力的功率为P=2mgvsin,A错误;当速度达到v后施加力F,则加速度ma=-+mgs
25、in,则随着速度的增加加速度a减小,则导体棒做加速度减小的加速运动,B错误;当导体棒速度为v时满足mgsin=,达到时安培力F安=mgsin,加速度为a=sin,C正确;在速度达到2v以后匀速运动的过程中,根据能量守恒定律,R上产生的焦耳热等于拉力所做的功加上重力做的功,D错误。5. (2020瑞安高二检测)如图所示,在磁感应强度为B的水平匀强磁场中,有两根竖直放置的平行金属导轨,顶端用一电阻R相连,两导轨所在的竖直平面与磁场方向垂直。一根金属棒ab以初速度v0沿导轨竖直向上运动,到某一高度后又向下运动返回到原出发点。整个过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好,导轨与金属棒间的摩擦及它们的电阻均
26、可忽略不计。则在金属棒整个上行与整个下行的两个过程中,下列说法正确的是() A.回到出发点的速度v等于初速度v0B.上行过程中通过R的电荷量小于下行过程中通过R的电荷量C.上行过程中R上产生的热量大于下行过程中R上产生的热量D.上行的运动时间大于下行的运动时间【解析】选C。金属棒切割磁感线运动,由右手定则和法拉第电磁感应定律、安培力公式可知金属棒下行和上行时的受力情况,如图所示:由能量守恒定律可知,金属棒在运动过程中,部分机械能转化为系统的焦耳热,故金属棒回到出发点的速度v小于初速度v0,故A错误;由电荷量的定义q=t,欧姆定律=,法拉第电磁感应定律= ,可得运动过程中产生的电荷量q=可知,上
27、行和下行过程中磁通量变化相等,故B错误;上行和下行两个过程中,安培力方向都与金属棒的速度方向相反,安培力都做负功,即金属棒均克服安培力。由于上行与下行经过同一位置时,上行速度大,产生的感应电动势和感应电流大,金属棒所受的安培力大,而两个过程位移大小相等,所以上升过程中金属棒克服安培力做的功比下降过程中克服安培力做的功多,根据功能关系可知:上升过程中产生的热量大于下降过程中产生的热量,故C正确;除最高点外,在任何一个位置,上升到此位置的速度大于下落到此位置的速度,所以上行过程的平均速度较大,而上升的位移和下降的位移大小相等,则上升的时间小于下落的时间,故D错误。【加固训练】如图所示,一宽2L的匀
28、强磁场区域,磁场方向垂直纸面向里。一边长为L的正方形导线框位于纸面内,以垂直于磁场边界的恒定速度v通过磁场区域,在运动过程中,线框有一边始终与磁场区域的边界平行,取它刚进入磁场的时刻为t=0,规定逆时针方向电流为正方向,在如图所示的图像中,能正确反映感应电流随时间变化的规律的是()【解析】选C。线框进入磁场过程,时间为t1=,根据楞次定律判断可知感应电流方向是逆时针方向,为正值,感应电流大小I=保持不变。线框完全在磁场中运动过程,磁通量不变,没有感应电流产生,经历时间t2=,线框穿出磁场过程与进入磁场过程,感应电流大小相等,方向相反,所用时间相等为t3=,感应电流方向是顺时针方向,是负值。所以
29、C正确,A、B、D错误。6. (2020深圳高二检测)如图所示,两根平行光滑金属导轨MN和PQ放置在水平面内,其间距L=2 m,磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场垂直轨道平面向下,两导轨之间连接的电阻R=4.8 ,在导轨上有一金属棒ab,其电阻r=0.2 ,金属棒与导轨垂直且接触良好,如图所示,在ab棒上施加水平拉力使其以速度v=5 m/s向右匀速运动,设金属导轨足够长。求: (1)金属棒ab产生的感应电动势和通过电阻R的电流方向;(2)水平拉力F;(3)在05 s内,通过金属棒ab的电荷量q及电阻R产生的焦耳热Q。【解析】(1)设金属棒中感应电动势为E,则:E=BLv代入数值得:E=5 V由
30、右手定则可得,通过电阻R的电流方向从M通过R流向P(2)设流过电阻R的电流大小为I,则:I=代入数值得I=1 AF安=BILab棒匀速直线运动,则F=F安=1 N方向水平向右(3)在05 s内,通过金属棒ab的电荷量q=It代入数据可得:q=5 C在05 s内,电阻R产生的焦耳热Q=I2Rt代入数据可得,Q=24 J答案:(1)5 V ,通过电阻R的电流方向从M通过R流向P(2)1 N,方向水平向右(3)5 C 24 J【加固训练】如图甲所示,不计电阻的平行金属导轨竖直放置,导轨间距为L=1 m,上端接有电阻R=3 ,虚线OO下方是垂直于导轨平面的匀强磁场。现将质量m=0.1 kg、电阻r=1 的金属杆ab,从OO上方某处垂直导轨由静止释放,杆下落过程中始终与导轨保持良好接触,杆下落过程中的v -t图像如图乙所示。(g取10 m/s2)求:(1)磁感应强度B。(2)杆在磁场中下落0.1 s的过程中电阻R产生的热量。【解析】(1)由图像可知,杆自由下落0.1 s进入磁场以v=1.0 m/s做匀速运动产生的电动势E=BLv杆中的电流I=杆所受安培力F安=BIL由平衡条件得mg=F安代入数据得B=2 T(2)电阻R产生的热量Q=I2Rt=0.075 J答案:(1)2 T(2)0.075 J
