1、5.5 三角恒等变换一、两角差的余弦公式公式cos()cos cos sin sin 简记符号C()使用条件，为任意角思考两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？二、两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R两角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R思考利用cos()推导cos()的过程中，利用了什么方法？三、两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S()sin()sin cos cos sin ，R两角差的正弦公式S()sin()sin cos cos sin ，R四、两角和与差的正
2、切公式名称公式简记符号条件两角和的正切公式tan()T()，k(kZ)两角差的正切公式tan() T()，k(kZ)五、二倍角公式三角函数公式简记正弦sin 22sin cos S2余弦cos 2cos2sin22cos2112sin2C2正切tan 2T2思考倍角公式中的“倍角”仅是指与2吗？六、半角公式sin，cos，tan.七、辅助角公式asin xbcos xsin(x).考点一 两角和差公式【例1】(2020安徽蚌埠高一期末)求值：( )ABCD【练1】(2020四川广元高一期末)( )ABCD考点二 给值求值【例2】(2020江西省铜鼓中学高一期末)已知，则的值为( )ABCD【练
3、2】(2020上海静安高一期末)已知，,则_.考点三 给值求角【例3】(2020辽宁沈阳高一期中)已知为锐角，为钝角且，则的值为( )ABCD【练3】(2020武威第六中学高一期末)已知，且，则的值( )ABCD考点四 二倍角【例4】(2020四川金牛成都外国语学校高一开学考试(理)设，则()ABCD【练4】(2020全国高三课时练习(理)计算的值为( )ABCD考点五 角的拼凑【例5】(2020安徽高二期末(理)已知，则( )ABCD【练5】(2020开鲁县第一中学高一期末(文)已知，则( )ABCD考点六 恒等变化【例6】(2020海原县第一中学高一期末)计算：的结果是( )A-4B-2C
4、2D4【练6】(2020四川金牛成都外国语学校高一开学考试(理)计算：课后练习1. （2021德州模拟）已知 sin=sin(+3)+13 ，则 cos(+6) 的值为（ ） A.13B.-13C.233D.-2332. （2021高一下深圳月考）在锐角 ABC 中，已知 cosA(sinB+cosB)=sinC ，则下列正确的结论为（ ） A.A=4B.B=3C.A=BD.B=43. （2021高三上洛南月考）知 ， 为锐角， tan=1+sincos ，则有（ ） A.3-=2B.3+=2C.2-=2D.2+=24. （2020高一上天津期末）已知 tanA=2tanB ， sin(A+B
5、)=14 ，则 sin(A-B)= （ ） A.13B.14C.112D.-1125. （2020高一上宁波期末）已知 sin=35,cos=-513,(0,2),(2,) ，则 sin(+)= _. 6. （2021济宁模拟）已知 sin(-6)=23 ，则 cos(2-3)= 7. （2021高三上深圳月考）已知 sin(+4)=105 ，则 sin2= 8. （2020高一上贵港期末）已知 2sin=1+cos ，则 tan2= . (22+k,kZ) 9. （2021高一下丹东期末）已知函数 f(x)=3cosxsinx+sin2x （1）求 f(x) 的最小正周期和单调递增区间； （
6、2）若 f(x) 在区间 -3,m 上的最大值为 32 ，求 m 的最小值 10. （2021高二上玉溪月考）已知函数 f(x)=sin2x-3cos2x （1）求 f(x) 的对称中心； （2）若 x(4,34) ，求 f(x) 的值域 11. （2021高一下福州月考）ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 b-c=acosC-ccosA . （1）求角 A ； （2）若 a=3 ，求 b+2c 的最大值. 12. （2021浙江模拟）在 ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ABC 的面积为S且满足 S=34(a2+b2-c2) （1）求角C的大小；
7、（2）求 sinAsinB 的最大值 精讲答案思考答案公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余余正正思考答案推导过程中，利用了角的代换的方法()思考答案倍角公式不仅可运用于2是的二倍的情况，还可运用于4作为2的二倍，作为的二倍，3作为的二倍，作为的二倍等情况【例1】【答案】C【解析】解：，故选：C.【练1】【答案】A【解析】.故选：A.【例2】【答案】B【解析】由，.【练2】【答案】【解析】因为，,又，所以=，故答案为.【例3】【答案】A【解析】由为锐角且，得，则，则，又，则，得.故选：A.【练3】【答案】B【解析】因为，所以；因为，所以， ，因为，又，所以故选：B【例4
8、】【答案】D【解析】 ，故选：D.【练4】【答案】B【解析】【例5】【答案】D【解析】因为，即，则故选：D【练5】【答案】D【解析】由题意，知，则，故选：D.【例6】【答案】A【解析】 4故选A【练6】【答案】【解析】由；练习答案1.【答案】 B 【考点】两角和与差的正弦公式 【解析】由 sin=sin(+3)+13 ， 所以 sin=sincos3+cossin3+13=12sin+32cos+13则 32cos-12sin=-13cos(+6)=-13故答案为：B【分析】 先根据正弦的两角和公式对等式进行化简，再利用辅助角公式，即可得解2.【答案】 A 【考点】弦切互化，两角和与差的正弦公
9、式，同角三角函数间的基本关系 【解析】由cosA(sinB+cosB)=sinC， 得cosAsinB+cosAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， 则cosAcosB=sinAcosB， 因为ABC是锐角三角形，所以cosB0 ， 则cosA=sinA， 所以tanA=1 则A=4 ， 故选A.【分析】利用sinC=sin(A+B)，同时根据两角和的正弦公式得cosA=sinA，从而求得tanA=1即可.3.【答案】 C【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系 【解析】由已知得， tan=sincos=1+sincos ， 去分母得， sincos=
10、cos+cossin ，所以 sincos-cossin=cos ，即 sin(-)=cos=sin(2-) ，又因为 -2-2 ， 02-2 ，所以 -=2- ，即 2-=2 ，故答案为：C【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式整理化简原式，然后由角的取值范围即可得出答案。4.【答案】 C 【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系 【解析】因为 tanA=2tanB ，即 sinAcosA=2sinBcosB ， 所以 sinAcosB=2sinBcosA ，因为 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=14 ，即 3cosAsinB=14
11、 ，解得 cosAsinB=112,sinAcosB=16 ，因为 sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB ，所以 sin(A-B)=16-112=112 .故答案为：C【分析】首先由同角三角函数的商数关系以及两角和的正弦公式整理化简得到3cosAsinB=14 ， 由此即可得出cosAsinB=112,sinAcosB=16 ， 把数值代入到两角和的正弦公式计算出结果即可。5.【答案】 3365 【考点】两角和与差的正弦公式 【解析】(0,2),sin=35 ，则 cos=45 (2,),cos=-513 ，则 sin=1213sin(+)=sincos+cossin=35(
12、-513)+451213=3365故答案为： 3365【分析】根据同角三角函数关系式与两角和的正弦公式，计算即可。6.【答案】 59 【考点】二倍角的余弦公式 【解析】由二倍角的余弦公式可得 cos(2-3)=cos2(-6)=1-2sin2(-6)=1-2(23)2=59 . 故答案为： 59 .【分析】 利用角的变换的思想结合余弦的二倍角公式求解即可7.【答案】 -15 【考点】二倍角的余弦公式，诱导公式 【解析】解：设x=+4 ， 则=x-4,sinx=105 则sin2=sin2x-4=sin2x-2=-sin2-2x =-cos2x=2sin2x-1=21052-1=-15 故答案为
13、： -15【分析】根据诱导公式，二倍角余弦公式，结合换元法求解即8.【答案】 12 【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式 【解析】因为 2sin=1+cos ，所以 4sin2cos2=2cos22 ， 又 22+k,kZ ，所以 cos20 ，故 2sin2=cos2, 即 tan2=12故答案为： 129.【答案】 （1）f(x)=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-6)+12 f(x) 的最小正周期 T= 由 2k-22x-62k+2 ，可得 f(x) 的单调递增区间为 k-6,k+3(kZ) （2）当 x-3,m 时， 2x-6-56,2m-6 ，因为 f(x)
14、在区间 -3,m 上的最大值为 32 ，以 sin(2x-6) 可以取到最大值1从而 2m-62 ，可得 m3 ， m 的最小值为 3 【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的图象，正弦函数的单调性 【解析】 (1)根据题意由两角和的正弦公式整理得到函数的解析式，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间。 (2)由x的取值范围得到2x-6-56,2m-6 ， 由正弦函数的性质即可求出函数f(x)的最值，由此得出m的值。 10.【答案】 （1）解： f(x)=sin2x-3cos2x=2sin(2x-3) ，当 2x-3=k 时，可得 x=6+k
15、2 所以函数 f(x) 的对称中心为 (6+k2,0),kZ （2）解：因为 x(4,34) ，所以 2x-3(6,76) ， 则 sin(2x-3)(-12,1 ，所以 2sin(2x-3)(-1,2 ，函数 f(x) 的值为 (-1,2 【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域 【解析】（1）根据两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象与性质求解即可； （2）根据正弦函数的值域求解即可.11.【答案】 （1）解： b-c=acosC-ccosA sinB-sinC=sin(A-C) ，sin(A+C)-sinC=sin(A-C) ，sinAcosC+cos
16、AsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC cosA=12 ，0A ， A=3 .（2）解：由（1）得 C=23-B ， 由正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R ，3sin3=bsinB=csin(23-B) ，b=23sinB ， c=23sin(23-B) b+2c=23sinB+43sin(23-B)=23(2sinB+3cosB) =221sin(B+) ，其中 tan=32 ， (0,2) 由 B(0,23) ，存在 B 使得 B+=2 ，所以 sin(B+) 的最大值为1，b+2c 的最大值为 221 .【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，正弦
17、定理 【解析】 (1)首先由正弦定理整理已知条件b-c=acosC-ccosA即可得到sinB-sinC=sin(A-C) ， 再由两角和的正弦公式整理即可得出cosA=12 ， 由此即可求出角A的大小。 (2)由(1)的结论由正弦定理整理即可求出b=23sinB和c=23sin(23-B) ， 由此即可得出b+2c =23(2sinB+3cosB)再由两角和的正弦公式整理即可得到221sin(B+) ， 由正弦函数的性质即可求出sin(B+)的最值由此求出b+2c的最大值。12.【答案】 （1）解：由题意可知 12absinC=342abcosC 所以 tanC=3 因为 0C ，所以 C=
18、3 ；（2）解：由已知 sinAsinB =sinAsin(-C-A) =sinAsin(23-A) =sinA(32cosA+12sinA)=34sin2A-14cos2A+14=12sin(2A-6)+14 因为 0A23,-62A-676 ,所以 2A-6=2 即 A=3 时， sinAsinB 取最大值 34 .所以 sinAsinB 的最大值是 34 【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，三角形中的几何计算 【解析】 (1)由已知条件结合同角三角函数的基本关系式即可得出，tanC=3结合角的取值范围即可求出角的大小。 (2)根据题意集合三角形的内角性质整理得到sinAsinB=sinAsin(23-A) ， 利用两角和的正弦公式整理化简得到sinAsinB=12sin(2A-6)+14 ， 结合正弦函数的单调性以及最值情况即可求出sinAsinB的最大值。
