1、第五章 三角函数课时5.4.4 三角函数的图象与性质（综合拔高练）考点1同角三角函数的基本关系与诱导公式1.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则sin =.2.sin 750=. 考点2三角函数的图象及应用3.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在-,的图象大致为 ()4.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是 ()5.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为 ()考点3三角函数的性质6.下列函数中,以2为周期且在区间4,2单调递增的是 () A. f(x)=|cos 2x|B. f(x)=|sin 2x|C. f(x)=co
2、s|x|D. f(x)=sin|x|7.关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: f(x)是偶函数; f(x)在区间2,单调递增; f(x)在-,有4个零点; f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是 ()A. B.C. D.8.设函数f(x)=sinx+5(0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点,下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个最大值点;f(x)在(0,2)有且仅有2个最小值点;f(x)在0,10单调递增;的取值范围是125,2910.其中所有正确结论的编号是 ()A.B.C.D.9.已知函数f(x)=sin(x+)0,|2,x=-4为f(x)的
3、零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为 () A.11 B.9C.7 D.510.函数f(x)=cos3x+6在0,的零点个数为. 应用实践1.已知2,则1+2sin(+)sin2-= () A.(sin -cos )B.cos -sin C.sin -cos D.sin +cos 2.已知点Psin34,cos34落在角的终边上,且0,2),则的值为 ()A.54B.34C.74D.43.已知tan x=-12,则sin2x+3sin xcos x-1的值为 ()A.13 B.2 C.-2或2 D.-24.设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错
4、误的是 ()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x=83对称C.f(x+)的一个零点为x=6D.f(x)在2,上单调递减5.已知函数f(x)=sinx-3(0),x0,的值域为-32,1,则的取值范围是 ()A.13,53B.56,1C.56,53D.(0,+)6.(多选)对于函数f(x)=sinx,sinxcosx,cosx,sinxcosx,下列四个结论中正确的是 ()A.f(x)是以为周期的函数B.当且仅当x=+k(kZ)时,f(x)取得最小值-1C. f(x)的图象的对称轴为直线x=4+k(kZ)D.当且仅当2kx2+2k(kZ)时,00),若f(x)f4对任意的
5、实数x都成立,则的最小值为.8.若角的顶点在坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边所在直线过点(3,-4),则sin32+=.9.若函数f(x)=cosx+6(N*)图象的一个对称中心是6,0,则的最小值为.10.已知函数f(x)=cosx-6,则下列结论中正确的是.(请把正确结论的序号填到横线处)f(x)的一个周期是-4;f(x)的一个对称中心是-3,0;f(x)的一条对称轴方程是x=-56;f(x)在-6,56上是减函数.11.已知(0,),且sin +cos =13.(1)求sin cos 的值;(2)求sin -cos 的值;(3)求tan 的值.12.已知函数f(x)=asin2x+
6、6+a2+b(xR,a0,0)的最小正周期为,其最大值是74,最小值是34.(1)求,a,b的值;(2)指出f(x)的单调递增区间.13.已知函数f(x)=sin2x+6.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)-k在区间-6,1312上有三个零点,求实数k的取值范围.14.已知函数f(x)=2sin2x+4+1.(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递减区间;(2)若x1,x2是函数f(x)的零点,试用列举法表示cos(x1+x2)2的取值组成的集合.深度解析15.已知函数f(x)=m-22x+1是定义在R上的奇函数.(1)求实数m的值;(2)如果对任意xR,不等式f
7、(2a+cos2x)+f(4sin x-2a-1-7)0恒成立,求实数a的取值范围.答案全解全析1.答案13解析角与角的终边关于y轴对称,=(2k+1)-,kZ,sin =13,sin =sin(2k+1)-=sin =13(kZ).2.答案12解析sin 750=sin(720+30)=sin 30=12.3.D 因为x-,所以由f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+(-x)2=-sinx+xcosx+x2=-f(x),可知函数f(x)为奇函数,所以选项A错误.又由当x=时,f()=sin +cos +2=2-1,可知0f()0,sin 2x可正可负,所以f(x)可正可负.由可
8、知,选D.5.C由题意得,函数的定义域关于原点对称,函数y=sin2x1-cosx为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;当x=时,y=0,故排除D;当x=1时,y=sin21-cos10,故排除A.故选C.6.A对于选项A,作出f(x)=|cos 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在4,2上单调递增,且最小正周期T=2,故A正确.对于选项B,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在4,2上单调递减,且最小正周期T=2,故B不正确.对于选项C,f(x)=cos|x|=cos x,最小正周期T=2,故C不正确.对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3
9、所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.图1图2图37.Cf(x)的定义域为(-,+), f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,正确;当x2,时, f(x)=sin x+sin x=2sin x,其在该区间上单调递减,不正确;当x0,时,sin x0, f(x)=2sin x有两个零点,当x-,0)时, f(x)=-2sin x仅有一个零点,所以f(x)在-,上有3个零点,故不正确;当x0时, f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在R上的最大值为2,正确.综上
10、,正确,不正确.故选C.8.D由x0,2,得x+55,2+5.设2+5=t,由题意及函数y=sin x的图象知,t5,6),则125,2910,故f(x)在(0,2)上有且仅有3个最大值点,而f(x)在(0,2)上可能有2个最小值点,也可能有3个最小值点,故正确,不正确,正确.当x0,10时,x+55,10+5,因为125,2910,所以10+529100+5=49100cos ,即sin -cos 0.因此,原式=sin -cos ,故选C.2.Csin340,cos340,点P在第四象限,又tan =cos34sin34=-2222=-1,0,2),=74.故选C.3.Dsin2x+3si
11、n xcos x-1=sin2x+3sinxcosxsin2x+cos2x-1=tan2x+3tanxtan2x+1-1=-122+3-12-122+1-1=-2.4.D由题意可知函数的周期为2k,kZ且k0,A正确;将x=83代入f(x)=cosx+3得f83=-1,所以B正确;f76=cos32=0,C正确;函数f(x)=cosx+3的图象可由y=cos x的图象向左平移3个单位得到,故f(x)的图象如图所示,则f(x)在2,上先单调递减后单调递增,故D选项错误.故选D.5.C0x,-3x-3-3,又f(x)-32,1,2-343,解得5653.故选C.6.CD作出函数f(x)的部分图象,
12、如图中实线部分所示,由图象知f(x)的最小正周期为2,A错误;当且仅当x=2k+,或x=2k-2(kZ)时, f(x)取得最小值-1,B错误; f(x)图象的对称轴方程为x=4+k(kZ),C正确;由0f(x)22得2kx0,当k=0时,取最小值23.8.答案-35解析r=32+(-4)2=5,sin32+=sin+2+=-sin2+=-cos =-35,故填-35.9.答案2解析由题意得6+6=2+k,则=6k+2(kZ),因为N*,所以的最小值是2.10.答案解析正确,易于判断.把y=cos x的图象向右平移6个单位,就得到f(x)=cosx-6的图象,故f(x)=cosx-6在-6,6上
13、是单调递增函数,在6,56上是单调递减函数,故错误.11.解析(1)因为sin +cos =13,所以(sin +cos )2=19,所以1+2sin cos =19,所以sin cos =-49.(2)因为(0,),sin cos =-49,所以sin 0,cos 0.所以(sin -cos )2=1-2sin cos =1+89=179.所以sin -cos =173.(3)因为sin +cos =13,sin -cos =173,所以sin =16+176,cos =16-176,所以tan =-9+178.12.解析(1)由函数的最小正周期为,得22=,=1.f(x)的最大值是74,最
14、小值是34,且a0,a+a2+b=74,-a+a2+b=34,解得a=12,b=1.(2)由(1)知, f(x)=12sin2x+6+54,当2k-22x+62k+2(kZ), 即k-3xk+6(kZ)时, f(x)单调递增,f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).13.解析(1)令2k-22x+62k+2(kZ),得k-3xk+6(kZ).所以函数f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).(2)令2k+22x+62k+32(kZ),得k+6xk+23(kZ),所以函数f(x)的单调递减区间为k+6,k+23(kZ).当x-6,1312时, f(x)在区间-6,6和23,1312
15、上单调递增,在区间6,23上单调递减.f-6=-12, f6=1, f23=-1, f1312=32,g(x)=f(x)-k在区间-6,1312上有三个零点等价于函数y=f(x)与y=k的图象在区间-6,1312上有三个交点,结合草图可知-12k32,所以函数g(x)在区间-6,1312上有三个零点时,-12k32.14.解析(1)f(x)的最小正周期T=22=4,对于函数f(x)=2sin2x+4+1,当2k+22x+42k+32(kZ)时,f(x)单调递减,解得4k+12x4k+52(kZ),所以函数f(x)的单调递减区间是4k+12,4k+52(kZ).(2)由2sin2x+4+1=0,
16、得sin2x+4=-12,所以函数f(x)的零点满足2x+4=2k-6或2x+4=2k+6(kZ),即x=4k-56或x=4k+116(kZ),所以x1,x2是集合A=x|x=4k-56,kZ或集合B=x|x=4k+116,kZ中的元素.当x1,x2A时,(x1+x2)2=2k-56(kZ),则cos(x1+x2)2=cos2k-56=cos56=-32;当x1A,x2B(或x1B,x2A)时,(x1+x2)2=2k+2(kZ),则cos(x1+x2)2=cos2k+2=cos2=0;当x1,x2B,(x1+x2)2=2k-6(kZ),则cos(x1+x2)2=cos2k-6=cos6=32.
17、所以cos(x1+x2)2的取值组成的集合是-32,0,32.解题模板研究y=Asin(x+)在xR上的性质,常用换元法,设t=x+,由y=Asin t的性质列方程(组)或不等式(组)进行求解.15.解析(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即m-22x+1+m-22-x+1=0,即2m-2=0,故m=1.(2)因为m=1,所以f(x)=1-22x+1.任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=21+2x2-21+2x1=2(2x1-2x2)(1+2x1)(1+2x2).因为x1x2,所以2x12x2,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x1)f(
18、x2),所以函数f(x)在R上是增函数.因为f(2a+cos2x)+f(4sin x-2a-1-7)0,且f(x)是奇函数,所以f(2a+cos2x)-f(4sin x-2a-1-7)=f(2a-1-4sin x+7),所以2a+cos2x2a-1-4sin x+7,即2a-2a-1-cos2x-4sin x+7对任意xR都成立.由于-cos2x-4sin x+7=(sin x-2)2+2,其中-1sin x1,所以(sin x-2)2+23,即-cos2x-4sin x+7的最小值为3.所以2a-2a-13,即2a-1-2a-1-20,解得02a-12,由02a-12,得12a52.故实数a的取值范围是a|12a52.
