1、第3课时角平分线的性质1经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)2能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，FDCBDE.试说明：(1)CFEB；(2)ABAF2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，
2、即DEDC.再根据CDFEDB，得CFEB；(2)利用角平分线的性质可得ADC和ADE全等，从而得到ACAE，然后通过线段之间的相互转化进行求解解：(1)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，DEDC.在CDF和EDB中，CDFEDB(ASA)CFEB；(2)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，CADEAD，ACDAED90.在ADC和ADE中，ADCADE(AAS)，ACAE，ABAEBEACEBAFCFEBAF2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 如图，AD是ABC的角平分
3、线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3解析：过点D作DFAC于F.AD是ABC的角平分线，DEAB，DFDE2，SABC42AC27，解得AC3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合 如图所示，D是ABC外角ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.试说明：CECF.解析：由DECDFC得出CD平分EDF，根据角平分线的性质，得出CECF.解：CD是ACG的平分线，ECDFCD.在DEC和DFC中，DECDFC(A
4、AS)，EDCFDC.又DEAC，DFCG，CECF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得AOCAOD，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.解：(1)AB、CD互相垂直平分，OCOD，AOOB，ACBCADBD；(2)OEOF，理由
5、如下：在AOC和AOD中，AOCAOD(SSS)，CAODAO.又OEAC，OFAD，OEOF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题 如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，BE是ABC的平分线，DEBC，垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由(3)如果BC10，求ABAE的长解析：(1)由ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可得ABEDBE，即ABBD，AEDE，所以ABD和ADE均为等腰三角形由C45，EDD
6、C，可知EDC也是等腰三角形；(2)BE是ABC的平分线，AEAB，DEBC，根据角平分线定理可知ABE关于BE与DBE对称，可得出BEAD；(3)根据(2)，可知ABE关于BE与DBE对称，且DEC为等腰直角三角形，可推出ABAEBDDCBC10.解：(1)ABC，ABD，ADE，EDC；(2)AD与BE垂直理由如下：由BE为ABC的平分线，知ABEDBE.又BAEBDE90，BEBE，ABE沿BE折叠，一定与DBE重合，A、D是对称点，ADBE；(3)BE是ABC的平分线，ABEDBE，DEBC，EAAB，BAEBDE.在ABE和DBE中，ABEDBE(AAS)，ABBD，AEDE.又AB
7、C是等腰直角三角形，BAC90，C45.又EDBC，DCE为等腰直角三角形，DEDCAE，即ABAEBDDCBC10.探究点二：角平分线的画法 如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若ACD120，求MAB的度数解析：根据ABCD，ACD120，得出CAB60.再根据尺规作图得出AM是CAB的平分线，即可得出MAB的度数解：ABCD，ACDCAB180.又ACD120，CAB60.由尺规作图知AM是CAB的平分线，MABCAB30.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是BAC的角平分线是解题的关键三、板书设计1角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等2角平分线的作法 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练。
